河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试题解析.docx

2024学年焦作市博爱一中高三（下）开学摸底考试

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知x，，则“”是“”的（）

A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】设，利用导数研究函数的性质可知在上单调递增，

结合函数的单调性解不等式以及充分、必要条件的定义即可求解.

【详解】设，则，

令，所以函数在上单调递增.

当时，则，即，充分性成立；

当时，有，得，

所以不一定成立，即必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

2.设，，，则（）．

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据换底公式将变形利用不等式性质比较的大小，再根据中间量比较的解.

【详解】，，

又，，，

，即，

又，，，

所以.

故选：A.

3.已知直三棱柱，，，点为棱的中点，则四棱雉外接球的表面积是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.

【详解】如图，连接，因为为直三棱柱，且点为棱中点，

则由对称性可知四棱锥为正四棱锥，连接，交于点，连接，

则面，又，易知，

在中，，，

所以，则可得，

即是四棱锥外接球的球心，所以外接球的表面积为，

故选：B.

4.在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（）

A. B. C. D.5

【答案】C

【解析】

【分析】令，利用对称性及数形结合有最大则，在中应用余弦定理及倍角正余弦公式、辅助角公式得，结合正弦型函数性质求最大值.

【详解】令且，，要使最大有，

如下图示，在中，

所以

，

当且仅当时，

所以的最大值为.

故选：C

【点睛】关键点点睛：令，应用所设参数表示出为关键.

5.已知直线与圆相交于两点，点为圆上一动点，则面积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】圆心到直线的距离为，由求出，面积的最大值即为到直线的距离的最大值，求解即可.

【详解】圆心到直线的距离为，

所以，

直线与圆相交于两点，

设到直线的距离为，

面积的最大值即为的最大值，即

面积为.

故选：A.

6.如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】取的中点，连接，，，证明平面平面，进而求出截面面积.

【详解】取的中点，连接，，，

正方体，平面，

平面，，

是的中点，，且，

四边形是矩形，

且，四边形是平行四边形，，

平面，平面，平面，

平面，平面，平面，

，平面，平面，

平面平面，

即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面，

，，，

.

故选：A.

7.已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求解.

【详解】设，则，

对任意，，

对任意，，在上单调递减，

，，

由，得，

的解集为.

故选：D.

8.为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，，则（）

A.有最大值 B.有最小值

C.随的增大而增大 D.随的增大而减小

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数知识直接求解判断即可.

【详解】由，，

则，

因为，所以，则，

令，

则，

所以在单调递减，所以，则，

所以在单调递减，即随的增大而减小，且无最值.

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.对于任意实数，表示为不超过的极大整数，如，，（）

A.若时，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】设出的整数部分和小数部分，化简各式子，即可得出大小关系，进而得出结论.

【详解】由题意，对于任意实数，表示为不超过的极大整数，

设，其中分别是的整数部分，分别是的小数部分，

A项，，故，则，故A正确；

B项，，，

，

∴，B正确；

C项，，，