7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一)).pdfVIP

第七章无穷级数

【常数项级数的收敛和发散的概念】【级数部分和的概念】

设有数列，则称为无穷级数.它的前项和

,称为级数部分和.

如果部分和数列有极限，即，则称级数收敛，其极限值称为

级数的和，记为．若不存在，则称级数是发散的．

【级数收敛的充要条件】级数是收敛的充要条件是.

【级数收敛的必要条件】若级数收敛，则．

【例题】判断下列级数的敛散性.

（1）.（2）.

【解析】（1）由于

，

.故原级数收敛.

【注】部分和数列中的是有限项，所以满足交换律和结合律.

（2）由于，

，故原级数发散.

【级数的基本性质】

（1）若，则（为常数）也收敛，且其和为，即．

（2）若，则也收敛，且其和为，即

．

（3）增加或去掉有限项，级数的敛散性不变．

（4）收敛级数不改变各项次序可以任意加括号，不仅收敛性不变，且其和也不变．

【注】收敛级数满足结合律，不满足交换律.

【正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别法】

（1）正项级数收敛的充要条件是其前项和数列有上界．

（2）（比较判别法）设均为正项级数，且．如果收敛，则

收敛；如果发散，则发散．

（3）（比较判别法的极限形式）设均为正项级数，且，

则：

当时，两个级数同时收敛或发散；

当，且收敛时，收敛；

当，且发散时，发散．

（4）（比值判别法）对于正项级数，若有，则时，级数收

敛；时，级数发散；时，级数敛散性不确定.

（5）（根值判别法）对于正项级数，若有，则时，级数收

敛；时，级数发散；时，级数敛散性不确定.

【几何级数与级数收敛与发散的条件】

（1）几何级数，

当时，收敛，和；当时，发散．

（2）级数，当时收敛；当时发散．

级数，当时收敛；当时发散．

【例题】判断下列级数的敛散性.

（1）.（2）.（3）.（4）