四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题（解析版）-A4.docxVIP

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德阳市博雅明德高级中学2024年秋季学期高三期中考试试题（数学）

一?单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先对集合化简，再求交集即可.

【详解】由,

，

则，

故选：D.

2.已知复数，则的虚部是（）

A.2 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.

【详解】因为，

所以的虚部为.

故选：D.

3.一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据古典概型概率公式求解.

【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为.

故选：A.

4.已知，则（）

A.3 B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.

【详解】.

故选：D.

5.设，则使成立的一个充分不必要条件是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.

【详解】对于A，，故是的充要条件；

对于B，由得，能推出，反之不成立，

所以是的充分不必要条件；

对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，

所以是的既不充分也不必要条件；

对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件．

故选：B．

6.定义在上函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得.

【详解】依题意，令，求导得，则在上单调递减，

由，得，不等式，

则或，即或，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：B

7.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解.

【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，

因为为正三角形，，所以为的中点，所以，

故，易知，所以，

由双曲线的定义知，

即，得.

故选：D．

8.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）

A B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】解：取的中点，

则，

以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，

所以，

所以在上的投影的长度为，

故点到直线的距离为.

故选：C.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（）

A. B.为偶函数

C. D.的值域为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据取整函数的定义判断各选项.

【详解】A选项：，A选项正确；

B选项：，，即，所以函数不是偶函数，B选项错误；

C选项：由已知可得，所以，

，C选项正确；

D选项：由已知，则，即，D选项错误；

故选：AC.

10.等差数列中，，则下列命题正确的是（）

A.若，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用等差数列的性质，对于A，，计算即可；对于B，由已知计算数列公差，再求值即可；

对于C，结合数列单调性比大小；对于D，由，，得.

【详解】等差数列中，，设公差为，

若，则，A正确；

若，，则，得，

，B正确；

若，，所以公差，

当时，有，则有，

当时，有，得，

所以，则有，C错误；

若，则，

因为，所以，D正确．

故选：ABD．

11.已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A.当为中点时，与所成角余弦值为

B.当面时，点的轨迹长度为

C.的取值范围为

D.与所成角的范围为

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量即可得A正确，利用线面平行性质以及椎体体积公式计算可得点的轨迹即是线段，可得B正确，利用极化恒等式计算可得C