考研数学满分学姐经验谈(一)：等价无穷小在求极限中的应用.doc

考研数学满分学姐经验谈（一）

——等价无穷小在求极限中的应用

文都考研命题研究中心

考研数学中求极限的题目是每年必考的，而利用等价无穷小求极限是最重要的方法，熟练使用等价无穷小替换对于快速正确求解极限题目必不可少。

使用等价无穷小首先必须注意所求极限是否为不定型，然后再确定求极限的函数分子分母是否在同一趋势下均为无穷小，是否可化为分子分母均为无穷小的形式。例如求当x趋于无穷时函数sinx/x的极限。sinx当x趋于0时为无穷小，但当x趋于无穷时极限不存在，前者是通常会遇到的情况，而后者较少出现（当然，近来出现频率渐有增加）。对此题目，若不细心，根据习惯使用当x趋于0时sinx的等价无穷小x进行替换求极限便大错特错了！此题目中的函数极限并非不定型，而须根据无穷小量的性质求极限，即无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

其次，在计算极限时，若表达式中分子或分母是几项相乘或相除，其中某项极限存在且不为零，可以先将其计算出来。但加减法不适用。这是便于计算极限时随时简化函数形式，免得在一遍遍誊写过程中出错。

再者，计算不定型极限时，若函数表达式中分子或分母是几项相乘的形式，可以使用等价无穷小替换。这就需要考生记住一些常用等价无穷小的形式。

一般情况下，加减法不能使用等价替换，但若达到精确度时，也可以使用等价无穷小替换（这一点在2013无师自通《考研数学复习大全》中有更清晰地描述）。例如limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2，因为分母是二阶无穷小，所以可以用ln(1+x2)～x2，1-cosx～x2/2，从而limx→0[ln(1+x2)+1-cosx]/x2=limx→0[x2+x2/2]/x2=3/2。

又如limx→0[x-sinx]/x3，因为分母为三阶无穷小，若用sinx～x，则会导致错误的结果，事实上limx→0[x-sinx]/x3=limx→0[1-cosx]/3x2=1/6。

等价无穷小替换在求函数极限中有重要作用，在使用任何方法的过程中都可使用等价无穷小替换将形式繁琐的函数简化，再进一步计算。特别是利用洛比达法则求极限时，有的函数若不进行化简，求导后形式繁杂，会增加计算难度。