第4讲 一次方程组（教师版）.docVIP

第4讲一次方程组——例题

（教师版）

一、解答题

1.解方程组

【答案】解：由①整理得x=2-3y将③代入②得

3（2-3y）-y=-4

-10y=-10

y=1

将y=1代入③得x=-1

所以原方程组的解为

【解析】【分析】令一方法可以由②得y=3x+4,再代入①消去y.本题采用了代入消元法．在某个未知数(元)的系数为±1时，最适宜用代数消元法．

2.解方程组

【答案】解：①+②得4x+3y=4

得x+5y=1

的17y=0

所以将y=0代入⑤得x=1

将x=1,y=0代入①得z=2

所以原方程组的解为

【解析】【分析】采用加减消元法．先由①与②．①与③消去z，得出x,y的二元方程组，解出x,y，再代入得出z．当然也可以先消去x．或者先消去y．一般地，求解一次方程组，都可以通过代人消元法或加减消元法．甚至两种方法一起使用，来解决问题．因此，这两种方法是常用的基本方法．在熟练运用这两种方法的基础上，可以从题目本身的特点出发，巧妙地消元，简化解题过程．

3.解方程组

【答案】解：令=k

x=2k,y=3k.z=4k

将它们代入②得

解得k=2

所以x=4,y=6,z=8

原方程组的解为

【解析】【分析】“遇到连比，设比值为k”，用含k的代数式表示x、y、z，再将x、y、z带入方程5x+2y?3z=8即可求解，这是非常有用的方法．

4.已知方程组

求：x：y：z

【答案】解：把z看作已知数,解关于x、y的方程组．

由原方程组得

①-②×2得

y=5z

将③代入②得

x=7z

所以x：y：z=7：5：1

【解析】【分析】该题有三个未知数，两个方程，一般不能确定x、y、z的值，但我们可将其中的一个未知数z看作已知数．把x、y用含z的代数式表示，从而求出比z：y：z的值．

5.解方程组

【答案】解：将②整体代入①，得

2x+3×2=4

x=-1

将③代入②得

y=1

所以原方程的解为

【解析】【分析】有时可根据题目的特点，整体代人，简化运算．当然，不是所有的题目都像本例一样，直接就可以整体代入．有时，通过仔细观察，抓住原方程组的特征，将它先作一些处理，然后再整体代入．

6.解方程组

【答案】解：有①得x+2（2x+3y-4z）=12④

将③整体代入④得x=2

将x=2代入②、③得

得13y=-13故y=-1

将y=-1代入⑤得z=-1

所以原方程组的解为

【解析】【分析】整体代入法是代入法的一种，它类似于换元法．实质上，为了解一次方程组，用代人消元法和加减消元法是完全可以胜任的．如本例我们不用整体代人，而直接用①-③×2，同样可得到x=2．

7.已知关于x、y的方程组

问a为何值时，方程组有无数多组解?a为何值时，只有一组解?

【答案】解：②-①×2得

(a-4)x=0

所以，当a-4=0，即a=4时，x可取一切数．与之相对应的y的值也是无数多个，即a=4时，原方程组有无数多组解．

当a-4≠0，即a≠4时，，即x只能取0，与之相对应的y的值为2，即当a≠4时，方程组只有一组解

【解析】【分析】该方程组中除未知数x、y外，还含有其他字母a，这类字母通常称为参数．可将参数作为已知的数，同样用代入消元法或加减消元法将方程组化为一个含参数的一元一次方程，再根据一次项系数≠0；一次项系数=0两种情况讨论．

8.解方程组

【答案】解：①+②+③得2（x+y+z）=6

即x+y+z=3

④-①得z=2，④-②得x=1，④-③得y=0

所以原方程组的解为

又解①+③-②得

2x=2

X=1

所以代入①、③得y=0，z=2

【解析】【分析】由题意可知，x、y、z的系数都为1，于是可将三个方程的左右两边分别相加，可得x+y+z=3，然后分别将方程①②③带入x+y+z=3即可求解。

9.解方程组

【答案】解：换元，令，则方程组化为：

③-④×6，得2u=1,故

将代入④，得

即

所以方程组的解为

【解析】【分析】由题意方程组中均含有和，于是可用换元法将分母中含有未知数的二元方程组转化为二元一次方程组求解，即可设u=，v=，将原方程组转化为方程组4u+6υ=4，u+υ=，解这个方程组即可求得u、v的值，然后将求得的u、v的值带入u=，v=即可求解x、y的值。