第23讲 约数的个数.doc

第23讲约数的个数

一、第23讲约数的个数（练习题部分）

1.写出1～59这59个数的约数个数，并将n的约数个数d(n)填在右表内与左表相对应的地方．

2.105的约数共有几个?

3.4500共有多少个约数?

4.恰有12个不同约数的自然数最小是多少?

5.自然数n的约数个数用d(n)表示．

（1）求d(42)；

（2）求满足d(n)=8的最小自然数n；

（3）如果d(n)=2，那么n是怎样的数?如果d(n)=3呢?

6.证明：不是平方数的自然数n，d(n)一定是偶数.

7.n≤60，并且对每个比n小的正整数m，d(m)d(n)．求n．

8.一个自然数，有10个不同的约数，它的质因数是3或5．这个自然数最大是多少?

9.在1～100中，恰有3个约数的自然数相加，和是多少?

10.写出从300到600的自然数中，有奇数个约数的数.

11.求240的所有约数的和．

12.筐里共有96个苹果．如果不一次全拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个数一样多，又正好拿完．有几种不同的拿法?

答案解析部分

一、第23讲约数的个数（练习题部分）

1.【答案】

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；先将各数分解质因数，再依此计算即可.

2.【答案】解：∵105=3×5×7，

∴105的约数个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个），

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；所以先将105分解质因数，再依此计算即可.

3.【答案】解：∵4500=22×32×53，

∴4500的约数个数是：（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）.

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；所以先将4500分解质因数，再依此计算即可.

4.【答案】解：∵12=1×12=2×6=3×4，

∴12=1×（11+1）=（1+1）×（5+1）=（2+1）×（3+1）=（2+1）（1+1）（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=12，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（11+1）=12，

∴a1=11，

∴n=p1a1，

要使n最小，p1应取2，

∴n=211=2048；

②当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（5+1），

∴a1+1=2，a2+1=6，

∴a1=1，a2=5，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1应取3，p2应取2，

∴n=3×25=96；

③当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（2+1）×（3+1），

∴a1+1=3，a2+1=4，

∴a1=2，a2=3，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1应取3，p2应取2，

∴n=32×23=72；

④当k=4时，

∴（a1+1）（a2+1）（a3+1）=（2+1）（1+1）（1+1），

∴a1+1=3，a2+1=2，a3+1=2，

∴a1=2，a2=1，a3=1，

∴n=p1a1·p2a2·p3a3，

要使n最小，p1应取2，p2应取3，p2应取5，

n=22×3×5=60；

∵2048967260，

∴符合题意的数是12×5=60．

【解析】【分析】对于一个大于1的正整数分解质因数：n=p1a1·p2a2·……·pkak，可知n的正约数有（a1+1）（a2+1）……（ak+1）个；由此计算即可.

5.【答案】（1）解：∵42=2×3×7，

∴42的约数个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）.

（2）解：∵8=1×8=2×4，

∴8=1×（7+1）=（1+1）×（3+1）=（1+1）×（1+1）×（1+1），

又∵(a1+1)(a2+1)…(ak+1)=8，

①当k=1时，

∴a1+1=1×（7+1）=8，

∴a1=7，

∴n=p1a1，

要使n最小，p1应取2，

∴n=27=128；

②当k=2时，

∴（a1+1）（a2+1）=（1+1）×（3+1），

∴a1+1=2，a2+1=4，

∴a1=1，a2=3，

∴n=p1a1·p2a2，

要使n最小，p1应取3，p2应取2，

∴n=3×23=24；

∵12824，

∴符合题意的最小自然数n=24．

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