第十三章等边三角形的相关证明题--2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专题训练.docxVIP

第十三章等边三角形的相关证明题--2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专题训练

1．如图，点、、在一条直线上，、均为等边三角形．求证：．

??

2．如图，已知是等边三角形，D、E分别在AB、边上．

(1)若，求证：是等边三角形、

(2)若，求证：是等边三角形．

3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．

(1)求证：；

(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．

4．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G．

(1)求证：垂直平分；

(2)在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由．

5．如图，点E是的平分线上的一点，，，垂足分别为点C、D，连接交于点F，且．

(1)求证：是等边三角形．

(2)若，时，直接写出的周长．（用含m、n的式子表示）

6．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)求证：是等边三角形．

7．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于．

(1)求证：；

(2)若，求．

8．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F．

(1)求证：；

(2)求的度数．

9．如图，是等边三角形，BD是中线，延长至点，使．

(1)求证：；

(2)若是的中点，连接，且，求的边长．

10．如图，在中，，，，为BD中点．

(1)求的度数；

(2)求证：是等边三角形．

11．在等边中，点D在边上（不与A，C重合），延长至点E，使，连接．

(1)如图1，当点D是边中点时，线段与的数量关系是；

(2)如图2，当点D是边上任意一点时，（1）中线段与的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

12．如图，在等边中，是的平分线，D为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．

(1)求证：；

(2)已知，求点O到之间的距离．

13．如图，在等边中，点，，分别是，，上的点，且，，连接，平分交于．

(1)求证：；

(2)若，求的长度．

14．如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)求的长．

15．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于．

如

(1)求的度数；

(2)证明是等边三角形；

(3)若的长为2，求的边长．

16．如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接．

(1)如图1，当点在线段的中点时，，；

(2)如图2，当点在的延长线上时，求证：；

(3)在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由．

17．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．

(1)求证：是等边三角形；

(2)当时，试判断的形状，并说明理由；

(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案）

18．已知线段直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边和等边，直线交直线于点．

(1)当点在线段上时，如图1，证明：

①；

②；

(2)当点在线段延长线上时，如图2，请写出线段之间的关系，并说明理由．

19．如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．

??

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．线段，，之间有什么数量关系？并说明理由．

20．在等腰中，，点D为平面内一点，连．

(1)如图1，若点D是内一点，且，求证：；

(2)如图2，若点D是外一点，且，，猜想和的数量关系，并证明你的猜想．

(3)如图2，在（2）的条件下，若，，求的长．

参考答案：

1．见解析

【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质．

由等边三角形的性质得到，，，进而得到，从而，根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明：∵、均为等边三角形，

∴，，，

∴，

即，

在和中

，

∴，

∴．

2．(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，推导出，且是解题的关键．

（1）由等边三角形的性质得，由，得，，则，所以，即可由，，证明是等边三角形；

（2）由等边三角形的性质得，，而，则，所以，即可由，，证明是等边三角形．

【详解】（1）证明：∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴是等边三角形；

（2）证明：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，即，

∴是等腰三角形，

又∵，

∴是等边三角形．

3．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可；

（2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可．

【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，

∴，．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

（2）解：∵，

∴

∴在中，．

∴．

∵，

∴．

∴．

【点