高等数学课件:有理函数的积分.ppt

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有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分

一、有理函数的积分

一、有理函数的积分

1.有理函数:

时,

为假分式;

时,

为真分式

假分式

多项式+真分式

分解

部分分式之和

2.真分式的分解:

其中

还能再分解,

没有公因式

可继续分解为更简单的部分分式,最终分解式中一定只出现多项式,

例1将下列真分式分解为部分分式:

解:

两边去分母

取x=3,得

取x=2,得

两边去分母

取x=0,得

取x=1,得

两边去分母

取x=0,得

取x=1,得

两边去分母

取x=0,得

3.有理函数的积分:

二、可化为有理函数的积分

则由万能公式

1.三角函数有理式的积分

例1求

解:

例2求

解:

例3求

解:

例4求

解:

原式

注:

2.简单无理函数的积分

配方、凑微分或利用

三角代换化为有理函数

例1求

解:

原式

例2求

解:

原式

例3求

解法1:

原式

例3求

解法2:

原式

例4求

解:

注:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,

但不一定简便,

因此要注意根据被积函数的结构寻求

简便的方法.

例5求

解:

原式

内容小结

1.特殊类型函数的积分

有理函数

分解

多项式及部分分式之和

三角函数有理式

万能代换

简单无理函数

三角代换

根式代换

2.

但不

要注意综合使用积分方法,

使计算简便.

一定简便,

特殊类型函数的积分按上述方法虽然可以积出,

思考与练习

如何求下列积分更简便?

解:1.

2.

原式

原式

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