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有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
一、有理函数的积分
一、有理函数的积分
1.有理函数:
时,
为假分式;
时,
为真分式
假分式
多项式+真分式
分解
部分分式之和
2.真分式的分解:
若
其中
若
还能再分解,
则
没有公因式
则
可继续分解为更简单的部分分式,最终分解式中一定只出现多项式,
例1将下列真分式分解为部分分式:
解:
两边去分母
取x=3,得
取x=2,得
两边去分母
取x=0,得
取x=1,得
两边去分母
取x=0,得
取x=1,得
两边去分母
取x=0,得
例
3.有理函数的积分:
二、可化为有理函数的积分
令
则由万能公式
1.三角函数有理式的积分
例1求
解:
例2求
解:
例3求
解:
例4求
解:
原式
注:
令
若
2.简单无理函数的积分
令
令
令
配方、凑微分或利用
三角代换化为有理函数
例1求
解:
原式
例2求
解:
原式
例3求
解法1:
原式
例3求
解法2:
原式
例4求
解:
注:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便,
因此要注意根据被积函数的结构寻求
简便的方法.
例5求
解:
原式
内容小结
1.特殊类型函数的积分
有理函数
分解
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
万能代换
简单无理函数
三角代换
根式代换
2.
但不
要注意综合使用积分方法,
使计算简便.
一定简便,
特殊类型函数的积分按上述方法虽然可以积出,
思考与练习
如何求下列积分更简便?
解:1.
2.
原式
原式
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