第15讲 综合除法和余数定理（教师版）.docVIP

第15讲综合除法和余数定理

（教师版）

一、第15讲综合除法和余数定理（例题部分）

1.求多项式除以x+2，所得的商和余式．

【答案】解:先用一般的竖式除法计算

所以，商式为3x-1，余数为-5．

从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．

商式为3x-1．，余数为-5．

【解析】【分析】在除式为一次式x-a时，可以采用这种简便的除法，称为综合除法．演算

过程如下：

(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

x的代数式常用记号f(x)或g(x)等表示，例如，用f(x)表示代数式，可记为f(x)=这时，f(1)就表示x=1时，代数式的值，即f(1)=同样地，有,等等．

f(x)可以代表x的任一个代数式．但在同一个问题中，不同的代数式要用

不同的记号表示，如f(x)、g(x)、q(x)、(rx)等.

采用上述记号，在除法中，我们有

???①

其中，f(x)表示被除式，g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，余式r(x)的次数小于除式g(z)的次数．

如果g(x)是一次式x-a，那么r(x)的次数小于1，因此，r(x)只能为常数(0或非零常数).这时．余式也叫余数，记为r，即有???②

在②中令x=a得

f(a)=r

因此，我们有以下重要定理：

余数定理：多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。

如除以x+2的余数为

这与我们前面用综合除法求得的余数相同.

又由②式．如果能被x-a整除，那么必有r=0．反之，如果r=0，

那么能被x-a整除．因此，我们有：

因式定理：如果多项式能被x-a整除，亦即有一个因式x-a，那么，反之，如果，那么x-a必为如果多项式的一个因式。

2.求除以所得的商式和余数．

【答案】解：用综合除法计算如下：

所以，商式为，余数为5.

【解析】【分析】综合法过程如下：

(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.

3.求多项式除以x-2所得的商式和余数．

【答案】解：先将按降幂排列，

=

用综合除法，计算如下：

所以，商式为，余数为7．

【解析】【分析】说明注意先将按降幂排列，如果有缺项，应该用零补足；再根据综合法的步骤：

(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.

4.用综合除法计算

【答案】解：，先用除以。

所以，我们有

=

=

=

因此．所求的商式为；余数为9．

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)?q(x)+r；

从而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余数仍为r．

5.??

（1）求x-1除所得的余数；

（2）求2x-2除所得的余数.

【答案】（1）解：由余数定理，所求的余数为：

f(1)=7×15?4×14?6×12+5=2.

∴所得余数为2.

（2）解：由例4的说明，我们知道，除以ax+b的余数和除以的余数是相同的，

所以除以2x-2的余数和除以x-1的余数相同，

∴所求的余数为．

【解析】【分析】（1）余数定理：多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)，由此计算即可.

（2）如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a