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《完全平方公式(第一课时)》教案

教学目标

教学目标：

1、理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算；

2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；

3、了解“特殊——一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想.

教学重点：完全平方公式的理解与运用

教学难点：掌握公式的结构特征，正确运用公式进行计算

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

3min

一、复习引入

【问题1】回顾以下知识：

(1)a2可以表示成什么？

(2)多项式与多项式相乘的法则是什么？

(3)乘法公式中的平方差公式是什么？

【答案】

(1)a2=a·a；

(2)多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

符号语言表示为：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.

(3)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

符号语言表示为：(a+b)(a?b)=a2?b2.

这节课，我们就在研究完平方差公式的基础上，继续学习乘法公式.

10min

二、新课教学

【问题2】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=_______；??

(2)(m+2)2=_______；

【分析】

(1)(p+1)2可以看成(p+1)(p+1)，应用多项式与多项式相乘的法则，计算得到(p+1)2=p2+2p+1；???

(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4；

通过运算，我们可以发现这两个式子都具备如下规律：

等号左边为两个数的和的平方；

等号右边是一个二次三项式，三项分别是两个数的平方和再加上一个式子，而这个式子正好是这两个数乘积的2倍．

【答案】

(1)(p+1)2=p2+2p+1

(2)(m+2)2=m2+4m+4

【问题3】通过上面两个具体实例我们发现：两数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.那么，对任意的a、b，上述发现的规律都成立吗？如何证明？

【分析】利用多项式与多项式相乘的法则进行计算：

(a+b)2=(a+b)(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2．

所以，(a+b)2=a2+2ab+b2．

【归纳新知】于是我们得到了求两个数和的平方的公式，这个公式叫做两数和的完全平方公式.

符号语言为：(a+b)2=a2+2ab+b2.

你能试着用文字语言将上述公式叙述表达出来吗？

文字叙述：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.

【问题4】通过上一节课的学习，我们知道可以用图形面积来解释一些代数恒等式．你能用下面图形的面积说明两数和的完全平方公式吗？

如图，大正方形面积=(a+b)2

四个小四边形面积和=a2+ab+ab+b2

则，(a+b)2=a2+2ab+b2

【问题5】能类比两数和的完全平方公式的学习过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a?b)2=？

【推导过程】

法一：(a?b)2=(a?b)(a?b)

=a2?ab?ab+b2

=a2?2ab+b2．

法二：(a?b)2=[a+(?b)]2

=a2+2a(?b)+(?b)2

=a2?2ab+b2．

所以，(a?b)2=a2?2ab+b2．

【结构特征】

(1)左边为两个数差的平方；

(2)右边为两个数的平方和再减去这两个数的积的2倍．

【几何意义】

如图，深粉色正方形面积=(a?b)2

深粉色正方形面积还可以表示为：大正方形面积?两个浅粉色长方形面积?小深粉色正方形面积=a2?(a?b)b?(a?b)b?b2

则，(a?b)2=a2?2ab+b2．

【符号语言】(a?b)2=a2?2ab+b2

【文字叙述】两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.

【归纳总结】

通过上面的学习，我们得到了两个新的公式，一个是两数和的完全平方公式，一个是两数差的完全平方公式，这两个公式我们统称为完全平方公式，符号语言可以统一写成(a±b)2＝a2±2ab＋b2的形式.所以，以后遇到两个相同的多项式相乘的时候，我们可以直接使用完全平方公式进行运算.

10min

三、例题讲解

【例1】运用完全平方公式计算：

(1)(x+6)2(2)(4m+n)2

(3)y-122

【分析】

(1)

首先，判断是否具备公式的结构特征：

——两数和的平方

之后，找准哪个数或式子相当于公式中的a和b：

最后，运用完全平方公式运算：

（2）(4m+n)2

(a+b)2

a

b

a2+2ab+b2

(4m+n)