数学学案：预习导航第三讲三平面与圆锥面的截线.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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预习导航

课程目标

学习脉络

1．了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线．

2．感受平面截圆锥的形状,并从理论上证明．

3．通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法.

1．定理2

文字语言

如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点,会出现三种情况：

如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是抛物线;

如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个部分都相交，这时的交线叫做双曲线

符号语言

在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β（当π与l平行时，记β＝0)，则

(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆;

（2)β＝α,平面π与圆锥的交线为抛物线；

(3）β＜α,平面π与圆锥的交线为双曲线

图形语言

作用

确定交线的形状

名师点拨①特别情况：β＝eq\f（π,2)，平面π与圆锥的交线为圆，如图所示．

②圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,因此,圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e，定义上的统一，必然也蕴含着图形统一．

2．圆锥曲线的结构特点

（1）椭圆上的点到两个定点（焦点）的距离之和为常数（长轴长2a）．

(2）双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a)．

（3)抛物线上的点到一个定点（焦点）和一条定直线的距离相等．

3．圆锥曲线的几何性质

（1）焦点：Dandelin球与平面π的切点．

（2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线．

（3)离心率：e＝eq\f(cosβ，cosα)。

(4）圆锥曲线的几何性质

项目

椭圆

双曲线

抛物线

焦点

2个

2个

1个

准线

2条

2条

1条

离心率

e＝eq\f(cosβ，cosα）＜1

e＝eq\f(cosβ,cosα）＞1

e＝1

焦距

F1F2＝2c

c2＝a2－b2

F1F2＝2c

c2＝a2＋b2

—

离心率

e＝eq\f（c,a)

e＝eq\f（c，a)

—

准线间距

eq\f(2a2，c)

eq\f（2a2，c)

—

曲线上的点到

焦点距离

PF1＋PF2＝2a

|PF1－PF2｜＝2a

—

思考在定理2中，当β＜α时，探究截线形状．

剖析：如图，当β＜α时，平面π与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别为F1，F2，与圆锥两部分截的圆分别为S1,S2。

在截口上任取一点P，连接PF1，PF2。过P和圆锥的顶点O作母线，分别与两球切于Q1，Q2，则PF1＝PQ1,PF2＝PQ2，所以｜PF1－PF2|＝｜PQ1－PQ2|＝Q1Q2，所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平面间的母线段的长，且为定值．

所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线．