数学学案：预习导航函数第课时.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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预习导航

课程目标

学习脉络

1.理解函数的概念,了解构成函数的要素．

2．会求一些简单函数的定义域和值域．

3．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法．

4．能正确地使用区间表示数集.

一、函数的相关概念

1．函数的定义

初中

在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量

现在

设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A，函数y＝f(x)也经常写作函数f或函数f(x)

2．相关名称

(1）函数的定义域

在函数y＝f（x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．

（2）函数的值域

如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合｛y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．

思考1函数符号“y＝f（x），x∈A”中的“f”及f（x）与f（a）有何区别与联系?

提示：(1）符号“y＝f(x）”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如，y＝f(x）＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2,f(m＋1)＝(m＋1）2，f(x＋1)＝（x＋1）2.

(2）符号y＝f（x）是“y是x的函数”的符号表示,应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f（x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时,除用符号f(x）外，还常用g(x），F(x),G(x)等来表示函数．

（3）f（x）与f(a）的区别与联系：f（a)表示当x＝a时函数f(x）的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下,它是一个变量，f(a)是f(x）的一个特殊值．如,一次函数f(x）＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28，是一个常数．

思考2同一函数的判断标准是什么？

提示:一般地,判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素,但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．

两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数．因此判断时应注意以下四点:

(1）定义域不同，两个函数也就不同．如，y＝x2（x∈R）与y＝x2（x＞0)不是同一个函数；

(2）对应法则不同，两个函数也是不同的．如，y＝x与y＝x2不是同一个函数；

（3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．如，函数f(x）＝x2与f(x）＝2x2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一个函数；

（4）因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的．如，f（x）＝2015x＋2014，f(t)＝2015t＋2014,g（x）＝2015x＋2014都表示同一个函数．

二、区间的概念

特别提醒(1)区间表示了一个数集,主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．

(2)若［a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a＜b.

(3）在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆圈表示．

（4）区间符号里面的两个字母(或数字）之间用“，”隔开．

（5)用＋∞，－∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式．

思考3区间与数集有何关系？

提示:(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的）的符号表示，是集合的另一种表达形式;

(2）区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等;

（3）区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．