数学学案：预习导航余弦定理.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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预习导航

1．理解用向量的工具推导余弦定理的过程,并能初步运用余弦定理解斜三角形．

2．掌握三角形的面积公式．

3．能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题．

1．余弦定理

公式表达

语言叙述

推论

a2＝b2＋c2－2bccosA

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

cosA＝

b2＝a2＋c2－2accos_B

cosB＝

c2＝a2＋b2－2abcos_C

cosC＝

归纳总结：（1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具；

（2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；

（3）在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；

(4）运用余弦定理时,因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．

【做一做1－1】在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则AC的长为________．

解析：由余弦定理，得AC2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3．∴AC＝eq\r（3）．

答案：eq\r(3)

【做一做1－2】在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝________．

答案：60°

2．余弦定理的应用

（1)利用余弦定理判断三角形的形状

由余弦定理，当边c为最大边时，

如果c2＝a2＋b2,则△ABC为直角三角形；

如果c2〈a2＋b2，则△ABC为锐角三角形;

如果c2a2＋b2，则△ABC为钝角三角形．

(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题

①已知三边，求三个角；

②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;

③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时,也可用余弦定理，如已知a，b，∠A，可先用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A,求出c,此时c的个数即为三角形解的个数．

名师点拨：使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角,也可先求最小角,如果最大角小于60°或最小角大于60°，可知三角形无解．

【做一做2－1】在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则该三角形的形状为(）

A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形

答案：D

【做一做2－2】在△ABC中，已知c＝2acosB，则△ABC的形状为________三角形．

答案:等腰

3．三角形的面积公式

（1）S＝eq\f（1,2）a·ha(ha表示a边上的高）；

（2）S＝eq\f（1,2）absinC＝eq\f（1，2)bcsin_A＝eq\f（1，2)acsin_B；

（3)S＝eq\f(1,2)r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径)；

(4）S＝eq\r(p(p－a)(p－b）（p－c)）(其中p＝eq\f(1，2）(a＋b＋c））．

【做一做3－1】在△ABC中，角A，B,C的对边边长分别为a，b,c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2,则c＝4eq\r（2)．

【做一做3－2】已知三角形的周长为12，内切圆的半径为1，则S△ABC＝6．