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2022年清华大学强基计划测试数学试题

考试时间2022年6月28日

1.xy

2.a2+b

3.已知复数z满足z=1,求

4.在复平面内,复数z1终点在1+i和1+ai表示两点连成的线段上移动,z2=

5.已知一个空间几何体三视图如下,都为中点最大边长为2,求这个几何体可能的体积

A.23

B.13

C.3

D.4

6.对于x∈R,fx满足fx+f

7.用蓝色和红色给一排10个方格染色,则不超过(忘记是不超过还是不少于)三个相邻块颜色相同的方法种数为

A.504

B.505

C.506

D.507

8.对于三个正整数a,b,c,有a+

9.已知a2+ab+b

10.limn→∞

11.曲线C

A.曲线C仅过0,

B.曲线C上的点距原点最大距离为2

C.曲线C围成的图形面积大于4π

D.曲线C为轴对称图形

12.任意四边形ABCD,AC=a,BD=

13.已知ax+by=1

2022年清华大学强基计划校测数学试题答案

1.若xy

【解析】新定义题型

由于变量的任意性,不妨带入x

2000

即2000

再代入x

2000

即2000

由1.1,

2000

因此,2000

2.a2+b

【解析】不等式问题袁逸凡解答

对于a?b≤a+b,其取等条件为a

当以上不等式都取等时,则有

a

令a≥

a

因为a+

2

因此,a?b+

3.已知复数z=1,求

【解析】复数的性质

已知z1

z

设T

令z+z

≤

=

当且仅当t=

4.在复平面内,复数z1终点在1+i和1

z=z1+z2在复平面上表示的点围成的面积为

【解析】复数的轨迹

设z1=

z

因此有

x

如下图所示,则z在复平面上围成的面积即为粉色区域,即

S

解得a=

同理当a1时,则有

6.对于x∈R,fx

有fx1≤f

【解析】复合函数的性质

由条件知:

f

设0≤x0

2f

当x0=0时,则有

∴当

1

因此f1

7.用蓝色和红色给一排10个方格涂色,则至多2个蓝色相邻的方法数为__504_.【解析】揷空法+?郁法

8.对于三个正整数a,b,c,有a+

【解析】数论

不妨设abc,令

a

9.已知a2+ab

【解析】不等式

a

1

10.lim

【解析】定积分放缩求极限,单调有界性准侧

利用定积分定义求和式的极限公式

lim

11.曲线C:

A.曲线C仅过0,

B.曲线C上的点距原点最大距离为2

C.曲线C围成的图形面积大于4π

D.曲线C为轴对称图形

【解析】四叶玫瑰线

设曲线C:fx

x2

x

故B正确,C错误;

联立x2+y23=16

12.任意四边形ABCD,AC=a,

结果用a,

【解析】向量的回路恒等式

AB

证明:AB+

因此:

AD

或者

AC

13.已知ax+by

答案:163

解:由题意可知

x

联立上述两式可得

x

此时

x

将(1)代入(2)可得

ax5