解题研究：中点四大模型--6.1.docVIP

中点四大模型

与中点有关的概念

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半

斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形

模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

换个马甲也要认识哦，如下情形读者自证。

模型阐述

如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．

点评：倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶的全等三角形；

其本质是转移边和角．

难点：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需要再证一次全等三角形，即“二次全等”。在证明第二次全等时，难点通常体现在倒角上，常见的倒角方法有：=1\*GB3①“8”字型；=2\*GB3②平行线；=3\*GB3③180°（平角、三角形内角和）；=4\*GB3④360°（周角、四边形内角和）；=5\*GB3⑤小旗子（三角形外角）；=6\*GB3⑥90°（互余角）

例题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．

求证：AD2＝(AB2＋AC2)．

证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．

∵BD＝DC，

∴ED＝DN．

在△BED与△CND中，

∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE＝NC．

∵∠MDN＝90°，∴MD为EN的中垂线．∴EM＝MN．

∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，

∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°．

∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．∴∠BAC＝90°．

∴AD2＝(BC)2＝（AB2＋AC2）．

拔高：⑴如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是．

解析：①正确．∵，，∴AD=2AC．

②、④正确．

延长到，使，连接．

∵是的中线，∴．

在和中，，∴

∴，

∴

在和中，

∴

∴，∠FCB=∠DCB

即CD=2CE，CB平分∠DCE．

③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．

⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是．

解析：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．

∴①②③④均正确．

模型2已知等腰三角形底边中点，可与顶点连接用“三线合一”

换个马甲也要认识哦，如下情形读者自证。

模型阐述

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”．

例题：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．

证明：连结AD，

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°

在Rt△AED与Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）

∴∠ADE＝∠ADF，∵∠ADB＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC．

拔高：已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠EDF绕D点旋转到DF⊥AC于E时（如图①），求证：S