2025高中数学必修第一册北师大版专题强化练1 利用基本不等式求最大（小）值.docx

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专题强化练1利用基本不等式求最大(小)值

1.(2023河北唐山乐亭二中期中)已知x+5y=5(x0,y0),则y+5x的最小值为()

A.52

C.20D.4

2.(2022吉林长春北师大附属学校月考)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()

A.1B.3

C.6D.9

3.(2023河北唐山开滦校际联考)已知0x12,则1

A.16B.18C.8D.20

4.(2024山东济宁育才中学月考)已知正数a,b满足a+b=3,若a5+b5≥λab恒成立,则实数λ的取值范围为()

A.-∞,

C.-∞,

5.(多选题)(2024湖北孝感部分学校月考)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则()

A.2a+b的最小值为8

B.1

C.ab的最大值为8

D.b+1

6.(2022重庆缙云教育联盟质检)已知正数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,则x+y的最小值为.?

7.(2024河南郑州外国语学校月考)已知二次函数y=ax2+4x+c,其中ac,若y的最小值为0,则4a2+

8.已知x0,y0.

(1)若不等式2x

(2)若x+y=1,1x+

9.(2024辽宁省实验中学月考)已知m+2n=3,且m-1,n0.

(1)求1m

(2)求m2

答案与分层梯度式解析

专题强化练1利用基本不等式求最大(小)值

1.D因为x+5y

所以y+5x=15x

当且仅当xy=25xy,x+5y

故y+5x的最小值为4.故选D

2.B由x2+2xy-3=0,可得y=3-

则2x+y=2x+3-x22x=3+3x22

故2x+y的最小值是3.故选B.

解题模板求含有条件的关于两个变量的式子的最大(小)值时,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若解题时找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值.

3.B因为0x12,所以

又因为2x+(1-2x)=1,

所以1x+81-2x

故选B.

4.B依题意得a4b

∵a+b=3,a0,b0,

∴a

≥2a5b

当且仅当a=b,即a=32,b=32

所以λ的取值范围为-∞

故选B.

5.ACD由16=ab+2a+b得b=16-

2a+b=2a+18a+1?2=2(a+1)+18a+1-4≥22(a+1)·18a+1-4=8,当且仅当2(a+1)=

1a+1+1b+2≥21a+1·1b+2

16=ab+2a+b≥ab+22ab,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0ab≤22,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确

b+19

=18(9-a

当且仅当18(9-a)10(a+1)=a+110(

故选ACD.

6.答案3+2

解析因为x0,y0,所以x+3y-1-1,2x+y-1-1,

因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,

所以x+3y-10,2x+y-10,

因此x+y=1

≥2225

当且仅当15

即x+3y-1=

所以x+y的最小值为3+22

导师点睛题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y)(m,n∈R),可得x+y=15(x+3y?1)+2

7.答案8

解析由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,得a0,Δ=16-4ac=0,则c=4a0,而ac,所以

因此4a2+c22a-c=4a2+16a22a

所以4a2

8.解析(1)∵x0,y0,∴2x+y0,

∵不等式2x+1y

∴m≤2(2

∵2yx+2xy≥22yx

∴m≤9,即m的最大值为9.

(2)∵1x+ay≥9恒成立,

又x0,y0,a0,x+y=1,

∴1x+ay=1x+ay(x+y)=a+1+axy+

∴(a+1)2≥9,∴a+1≥3,

∴正数a的最小值为4.

9.解析(1)由题意得m+1+2n=4,则(m

所以1m+1+

当且仅当2nm+1=2(m+1

则1m+1+

(2)设x=2n+2,

所以m22n+2+4n2m+1=(y-1)2x

则m22n