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高中数学抛物线知识点归纳总结

抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等

的点的轨迹。点F叫做焦点，直线l叫做准线。抛物线有对称

性，关于x轴对称、关于y轴对称、焦点在对称轴上。抛物线

的顶点是与准线相交的最高点，离心率是焦点到顶点距离与顶

点到准线距离的比值。抛物线的方程有标准式和一般式，可以

通过顶点、焦点、准线等信息求出。

焦点弦是抛物线上两点与焦点所组成的线段，焦点弦长等

于两点间的距离加上焦距的两倍。以焦点弦为直径的圆必与准

线相切。若以焦点为圆心作圆，则准线与圆相切。关于直线与

抛物线的位置关系，可以通过联立方程和判别式来求解。当直

线与抛物线有一个交点时，需要判断是否相切。若直线与抛物

线只有一个公共点，则不一定相切。

给定抛物线方程y=2px(p≠0)，设交点坐标为A(x1,y1)，

B(x2,y2)，则可以求得斜率k和中点M的坐标(x,y)。同时，还

可以利用点差法来求解相关问题。

对于交点坐标，代入抛物线方程可得y1=2px1，y2=2px2.

将两式相减，可以得到(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)。进一步化简，

得到(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)。这个公式在涉及斜率问题时

非常有用，因为可以直接求出两个点的斜率kAB=2p/(y1+y2)。

对于中点M，设线段AB的中点为M(x,y)，则有

x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.将这两个式子代入抛物线方程，可

以得到y=2p(x1+x2)/2=px1+px2.进一步化简，得到2p(y-

x)=2p(x1-x2)。这个公式在涉及中点轨迹问题时非常有用，因

为可以直接求出kAB=p/y。

当涉及弦长问题时，可以利用上述公式来求解。例如，相

交弦AB的弦长可以表示为AB=1+k^2(x1-x2)或AB=1+11/22Δ，

其中Δ为三角形ABC的面积。

对于抛物线x^2=2py(p≠0)，同样可以利用上述公式来求解。

例如，在求解直线与抛物线相交的问题时，可以利用

kAB=x1+x2/2p。需要注意的是，这个公式只适用于直线与抛

物线有两个不同的交点，且直线的斜率存在且不等于0的情况。