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重难点37特殊三角形综合题

第181天构造中点辅助线

1.中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形.

（1）如图①，若点为等腰直角三角形的斜边的中点，点分别在边上，且，连接，当时，求的长度；

（2）如图②，若点为等边三角形的边的中点，点分别在边上，且.点为的中点，连接，当时，证明：；

（3）如图③，若点为等边三角形的边的中点，点分别在边上，且.当时，直接写出的长度.

1.（1）解：小可爱，找找条件证全等.

∵点为等腰直角三角形的斜边的中点，

∴，∴.

又∵，

∴.

∵，

∴，∴，

∴在中，；

（2）直角三角形在这里很重要哦，但凡和直角沾边的，我们一个都不能放过.

证明：设等边三角形的边长为，∵点是的中点，∴，

∵在等边三角形中，，∴.

∵，∴，∴，即，∴.

连接,则在中，.

∵，∴是等边三角形，∴，∴，

∴，∴垂直平分，∴中，，

∴在中，.

∵为的中点，∴，∴中，，

∴，∴，∴；

（3）.

第182天千旋万转同方法

2.已知：在中，.

（1）如图①，若点分别在边上，且，连接，点分别是的中点.求证：是等腰直角三角形；

（2）如图②，将图①中绕点顺时针旋转，点分别为的中点，则（1）中的结论是否成立，并说明理由；

（3）如图③，将图①中绕点时针旋转，记旋转角为，点分别为的中点，当时，请求出四边形的面积.

2．（1）证明：小鹿觉得这里用角度关系证明可能会更方便,你们觉得呢.

∵，∴.

∵点分别为的中点，

∴且且，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（2）解：（1）中的结论成立.理由：连接，连接是为了方便我们证明.自己画画.

∵绕点顺时针旋转，∴.

∵，∴，∴.

在前面的基础上，接下来我们要着更关注角度之间的关系.

∵点分别为的中点，

∴且且，

∴，

∴.

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）解：与的位置关系和的长度是我们的解题关键.

连接与交于点，自己动手.

由（2）同理可证为等腰直角三角形.

∴.又∵，∴.

∵，∴，∴.

∵，∴，∴，∴四边形的面积为.

第183天折叠等腰常相随

3.如图①，点是等腰的边上的一个点，连接，并且满足，已知，试探究下列问题：

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）如图②，在（1）题的结论下，将沿折叠到，连接，若的面积为，试求以为顶点的四边形的面积.

3.解：（1）是直角三角形.理由如下：

小鹿来梳理一下，由边的关系到角的关系，来判断是否为直角三角形，过作于点，

∵，∴.

设，则，

∴在中，根据勾股定理，得，解得，

∴在中，，∴，

∴，∴，∴，

∴在中，，

∴是直角三角形；

（2）有没有觉得条件少，那肯定要设未知，心中提前准备好.

设与交于点，由折叠的性质可得，，

∴，∴，

∴在中，，

∴，即垂直平分，∴.

由（1）可得，，∴，

∴，解得，

∴.

第184天动点位置要分类

4.如图，在中，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒.

（1）出发秒后，求的周长；

（2）问为何值时，为等腰三角形？

（3）另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？

4.解：（1）这个简单，只需根据题意，求三角形的三边长即可.如解图①，，∴由勾股定理得.

∵动点从点出发，按的路径运动,且速度为每秒，

∴出发秒时，，则.

∵，在中，∴由勾股定理得.

∴的周长为；

（2）思路决定出路，康康小宝贝们的思路能否助我们找到出路.

当点在边上时，，∴时，为等腰三角形；

当点在边上时，有三种情况：

①若使此时，点运动的路程为，∴时，为等腰三角形；

②若，如解图②，过点作斜边的高，利用“等积法”得：

，∴，

在中，根据勾股定理可得，

∵，∴，

∴，∴，∴点运动的路程为，

∴时，为等腰三角形；

③若时，则，

∵，∴，

∴，∴点运动的路程为，∴时，为等腰三角形.

∴时，为等腰三角形

（3）①当点在上，点在上，则，

∵直线把的周长分成相等的两部分，∴，∴；

②当点在上，点在上，则，

∵直线把的周长分成相等的两部分，∴，∴，

此时点已到达终点.∴当为或时，直线把的周长分成相等的两部分.

第185天函数遇见三角形

5.(2020春重庆八中期中)如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，动点在线段上运动，过点作交于，作的平分线交轴于点.

（1）在线段上有一动点，在轴上有一动点；当时，连接，当的周长最小时，求此时点的坐标及的周长的最小值.

（2）如图②，在第（1）问的条件下，点是轴上的一个动点，点是直线上的一个动点.是否存在某个时刻使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点以及对应点的坐标；若不存在，请说明理由.

5.解：（1）毫无想法，哈哈，开玩笑的，不仅有想法，还想法多多.

对于直线，当时，，当时，，