运用基本不等式解题常见问题对策探求.docVIP

同步：根本不等式

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

知识梳理

1．根本不等式：

①，〔当且仅当时，取等号〕

变形：，，

②重要不等式：如果，那么〔当且仅当时，取“”号〕

2．最值问题：是正数，

①如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

②如果和是定值S，那么当时，积有最大值.

利用根本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均根本不等式的条件。

3．称为的算术平均数，称为的几何平均数。

4．三元根本不等式：假设，那么

典例精讲

一、和〔或积〕不是定值

对策：变量为正数时“假设和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值”.当和〔或积〕不是常数时，可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等.

对策一、拆项分拆项在注意等号成立的条件下，把和〔积〕变成定值

例1、求函数的最小值。

解析：，所以仅当。

评析：目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分为相同的两项，同时使得含变量的因子的次数和为零。思路不教练，功底不扎实是无法完成变形目标的。

练习1：〔为常数〕，求函数的最大值

对策二、添、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项，常见的凑项方法有：

〔1〕、系数变形

在利用均值不等式时，有时系数并不满足均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。

例3、，，且，求的最大值。

分析：的系数与所要求的的系数不相吻合。要对的系数加以变形，使之满足中的系数要求。

解析：

，

当且仅当时，即，时等号成立，

所以当，时，的最大值为。

〔2〕、项数变形

在利用均值不等式时，有时往往需要对项数加以变形处理，使之满足均值不等式的要求，为利用均值不等式求解创造条件。

例4、求函数的最小值。

解析：

所以当

评析：目标求和的最值，尽可能凑定积，因此添6，减6〔即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号〕是解决此题的关键之所在。

练习：，求函数的最大值。

分析：题目中的为负数，又不是定值，所以要对常数加以增减、拆、凑等处理。

解析：∵，∴，

∴

，

当且仅当时，即时等号成立，

所以当时，函数的最大值为1。

。例5、，求的最小值。

分析：题目中的各项有正数也有负数，直接利用均值不等式无法下手，通过项数的变化整理，使之符合要求。

解析：由，得，，

那么

，

当且仅当时等号成立，

所以当时，的最大值为3。

〔3〕、指数变形

在利用均值不等式时，有时未知数的指数并不满足均值不等式的要求，需要对指数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。

例6、实数满足，且，求的最小值。

分析：由均值不等式直接求解，得出的结果与不满足，需要变形指数，通过协调好实数的指数关系，使之满足条件。

解析：

，

当且仅当时，即，时等号成立，

所以当，时，的最小值为3。

对策四、放入根号或两边平方

例7、求函数的最大值。

解析：

〔仅当时取等号〕，即当。

另解：

〔仅当时取等号〕，即当。

评析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决此题的关键之所在。

对策五、分子常数化

例8、设求函数的最大值。

解：由题意知

而，所以仅当。

评析：当分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，都可采用同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决。

例9、设，求函数的最小值。

解析：

所以仅当。

评析：先尽可能的让分子变量项和分母相同〔常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时〕，然后裂项转化为求和的最值，进而凑定积〔即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号〕。

对策六、代换变形

利用题目当中的条件，对要求解的代数式加以代换变形，使之符合均值不等式的条件，再应用均值不等式加以求解。

例10、，且，求的最小值。

分析：直接利用均值不等式对求解不符合不等式成立的条件，只有通过变形，把条件中的1加以代换变形，进而求解。

解析：由，得

，

当且仅当时，即，时等号成立，