高等数学课件:曲线的凹凸性与拐点 图形的描绘.ppt

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目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学曲线的凹凸性与极值图形的描绘一、曲线的凹凸性二、图形的描绘1.定义1在区间I上连续,(1)则称图形在I上是(向上)凹的(或凹弧);(2)则称一、曲线的凹凸性与拐点曲线经过点凹凸性如果发生了改变,若x0是I的内点,(x0,f(x0))时,则称点(x0,f(x0))是该曲线的拐点.若恒有若恒有图形在I上是(向上)是凸的(或凸弧).定义2设函数定理1(1)若在(a,b)内则f(x)在[a,b]内图形是凹的;(2)若在(a,b)内则f(x)在[a,b]内图形是凸的.设函数在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内有二阶导数,则定理2(必要条件)设函数在x0二阶可导,且存在,必有注:1.二阶导数为零的点不一定是拐点.2.二阶导数不存在的点可能是拐点.如如,y=x42确定曲线y=f(x)凹凸性的一般步骤确定函数f(x)的定义域;(1)以这些点(2)的凹凸性,从而判定曲线求出使的点和不存在的点,为界点将定义域划分为若干个子区间.(3)确定各个子区间内的符号,并求出凹凸区间和拐点.例1判断曲线的凹凸性.解:故曲线在内,是凸的.函数的定义域为例2判断曲线的凹凸性.解:故曲线在内,函数的定义域为在是凹的.故曲线在内,在是凸的.对应例3求曲线的凹凸区间及拐点.解:令得故该曲线在及上是凹的,是凸的,为拐点.凹凹凸函数的定义域为在上点及是曲线y=f(x)水平渐近线.极值点,二、图形的描绘——影响函数图形的关键因素1.单调区间,凹凸区间,拐点.①水平渐近线若则2.渐近线是曲线y=f(x)铅直渐近线.②铅直渐近线若则是曲线y=f(x)斜渐近线.③斜渐近线若则例1求曲线的渐近线.解:是曲线的铅直渐近线及又为曲线的斜渐近线.∴曲线无水平渐近线.3、函数图形的描绘的步骤确定函数的定义域及特性求并求出及列表判别各个部分区间的单调性及凹凸性,求渐近线;补充某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点,(对称性、周期性);这些点把定义域划分为几个部分区间;求出极值点和拐点;1.2.3.4.5.例2画出函数的图形.无对称性及周期性.解:(1)定义域为(2)得是函数的间断点.极大值间断极小值(3)(4)渐近线是曲线的铅直渐近线是曲线的斜渐近线目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学

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