高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 第一课时 比较法课件 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学课件.pptVIP

第二讲证明不等式的基本方法

第一课时比较法

[目标导学]1.理解用比较法证明不等式的一般方法和步骤.2.会用比较法证明具体的不等式.

比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种：(1)要证明ab，只要证明________；要证明ab，只要证明________.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法；(2)要证明ab0，只要证明________；要证明ba0，只要证明________.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法.教材梳理·新知探究基础导学a－b0a－b0

要点诠释

思路点拨由于两边都是低次的整式，宜用作差法.典例剖析·规律总结

【证明】(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1).(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵abc，∴b－a0，c－a0，c－b0.∴(b－a)(c－a)(c－b)0，∴bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b.

●方法技巧作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.

1.求证：sinx＋siny≤1＋sinxsiny(x，y∈R).证明∵sinx＋siny－1－sinxsiny＝sinx(1－siny)－(1－siny)＝(1－siny)(sinx－1)，∵－1≤sinx≤1，－1≤siny≤1，∴1－siny≥0，sinx－1≤0.∴(1－siny)(sinx－1)≤0，即sinx＋siny≤1＋sinxsiny.变式训练

思路点拨不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用比商法.

●方法技巧(1)当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式时，常采用作商比较法.(2)作商比较法的证明步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

2.已知a2，求证：loga(a－1)log(a＋1)a.变式训练

思路点拨先建立数学模型，再利用不等式的知识求解，然后得出结论.

●方法技巧数(式)大小的比较问题常常用“比较法”来解决，在实际应用不等关系问题中，常用到比较法的思想来解决问题，若是选择或填空题可用特殊值法判断数的大小关系.

3.对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和在静水中来回行驶一次的时间是否相等？(假定船在流水、静水中的速度均保持不变)变式训练