高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 第二课时 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学课件.pptVIP

第二课时一般形式的柯西不等式;[目标导学]

1.认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义.

2.能利用柯西不等式的一般形式解决有关问题.;1.三维形式的柯西不等式______________________________________，当且仅当__________________________________________________使得_______________.;2.一般形式的柯西不等式

设__________________________________________，

则__________________________________________

___________________________________________，

当且仅当_________________________________________________________________________________时，使得__________________________.

;1.二维柯西不等式的再认识.

二维柯西不等式

(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).①

与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，熟悉这些联系能更本质地把握不等式，并更自觉地应用它.

(1)全量不小于部分.由恒等式

(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2.②

立即得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.;(5)二次函数的判别式，由

f(x)＝(ax－c)2＋(bx－d)2≥0，

可得其判别式不大于0，

Δ＝4(ac＋bd)2－4(a2＋b2)(c2＋d2)≤0，变形即得①.;;●方法技巧

通过以上题目可以看出，无论是用柯西不等式还是其他重要不等式来证明不等式，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.;1.已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.

(1)求a的值；

(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.;解析(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，

所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.

(2)证明由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，

所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.;思路点拨将已知等式变形，直接应用柯西不等式.;●方法技巧

利用柯西不等式求最值的方法技巧

利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件.;变式训练;思路点拨可以将问题看成求方程组的解的问题.;【解析】将两方程左右两边分别相加，变形得

(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108，

由第一个方程变形，得2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18，

于是由柯西不等式，得

182＝[1×(2x)＋1×(3y＋3)＋1×(z＋2)]2

≤(12＋12＋12)×[(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2]＝182.

由不等式中等号成立的条件可知：

2x＝3y＋3＝z＋2＝6，

故原方程的解为x＝3，y＝1，z＝4.;●方法技巧

本题中两个方程含有三个未知数，不可能用一般方法求解，我们利用柯西不等式，将不等式中的等号成立时转化为方程，从而使问题得到解决.;变式训练