数学学案：预习导航数列.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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预习导航

1．理解数列的概念，了解数列的几种分类．

2．理解数列通项公式的概念及意义．

3．了解数列与函数的关系．

1．数列的有关概念

（1）数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项．

（2）数列的一般形式可以写成a1，a2,a3，…，an,…，此数列可简记作{an｝,其中数列的第n项记作，这里｛an｝是数列的简记符号，并不表示一个集合．

归纳总结：关于定义的理解，应注意以下几点：

①数列的项与项的序号是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值,也就是相当于f(n），而项的序号是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n．

②次序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，显然数列与数集有本质的区别．

例如，2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3,4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合．

③数列a1，a2,…,an,不可以写成{a1，a2,…，an｝的形式，但是可以简记为{an}．

【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式:①1，2，3，4，5；②5,4，3，2,1；③2，1，5,3，4；④4，1,5,3,2．其中可以称为数列的序号是__________．

答案：①②③④

2．数列的通项公式

如果数列｛an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

名师点拨：(1）数列可以用通项公式来描述，也可以用列表或图象来表示;

(2）不是所有的数列都有通项公式,如果有,则不唯一．

【做一做2】下列解析式中不是数列1，－1,1，－1，…的通项公式的是（)

A．an＝(－1)nB．an＝(－1）n＋1C．an＝(－1）n－1D．an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1,n为奇数，，－1，n为偶数))

解析：令n＝1，在an＝(－1)n＋1中，a1＝(－1）1＋1＝1，同样在an＝(－1）n－1，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1,n为奇数，,－1，n为偶数)）中均有a1＝1，符合题意．而在an＝（－1）n中，a1＝（－1）1＝－1,不符合题意，故选A．

答案:A

3．数列与函数的关系

在数列{an}中，对于每一个正整数n（或n∈｛1,2，…，k}），都有一个数an与之对应，因此,数列可以看成以正整数N＋(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f（i）(i＝1，2，3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f（2），f(3），…,f(n）,…．其图象是一系列孤立的点．

名师点拨：（1）数列｛an｝与函数f(n)＝an(n∈N＋）是不同的，{an}中的元素具有有序性，如将a1，a2，a3，…，an排成a3，a1，a2,…,an，则为不同的数列，而对于函数f(n)＝an(n∈N＋)来说却是一样的．

（2）数列中，自变量的取值更有规律性，必须从小到大取正整数．

【做一做3－1】下列说法不正确的是（）

A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一

C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示

解析：数列中的项可以相等．

答案：C

【做一做3－2】数列{an}的通项公式an＝f（n），作为函数,它的定义域是（）

A．正整数集N＋B．自然数集N

C．正整数集N＋或N＋的任一子集D．正整数集N＋或其有限子集｛1，2，3,…，n}

答案:D

4．数列的分类

(1)按项的个数分类

类别

含义

有穷数列

项数有限的数列

无穷数列

项数无限的数列

(2）按项的变化趋势分类

类别

含义

递增数列

从第二项起，每一项大于它的前一项的数列

递减数列

从第二项起，每一项小于它的前一项的数列

常数列

各项都相等的数列

【做一做4】已知下列数列:

①2002，2006，2010，2014；

②0，eq\f(1,2)，eq\f（2，3)，…，eq\f(n－1，n),…；

③1，eq\f（1,2)，eq\f(1,4），…,eq\f(1，2n－1),…；

④1,－eq\f(2,3)，eq\f（3，5），…，eq\f((－1)n－1·n，2n－1),…；

⑤1，0,－1,…,sineq\f（nπ，2），