二元二次多项式的因式分解.pdf

形如

的二元二次多项式的因式分解

分解形如

的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。当

然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次

项和常数项的方法，较容易的求得。现举例说明：

方法一、求根法

利用求根法因式分解，形如

的二元二次多项式可看成关于

（或

）的一元二次多项式。用求根公式求出两根

，则原式＝

。在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于

的方程的判别式是

的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。

例1、

为何值时，

能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。

分析：把上面的多项式看成

的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出

的两个值

，则原式＝6

，这里只须研究

何值时，

是

的一次式即可。

解：设

＝0，把此式看成关于

的一元二次方程，则该方程的判别式：

，

要使方程的解为

的一次式，

必须为完全平方式，那么判别式的判别式

必须是零。

＝

，∴

（1）、当

时，由

解得

则原式＝

＝

（2）、当

时，由

解得

则原式＝

练习：把

分解因式答案：原式＝

方法二：待定系数法

用待定系数法因式分解的一般步骤：

1、根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。要尽量减少待定系数的个

数，以利求解。

2、利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。

3、解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果

无解，则原方程组不能分解为所设的形式。

如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。

例2、

为何值时，多项式

可分解为两个一次因式的积。

分析：先设可分解成两个一次式，原式中的

是

的项未知系数。为使待定系数尽量少，可先考虑

，所以可设：原式＝

，也可以先考虑

，所以可设：原式＝

，这里只解前者。

解：设

＝

∵

＝

∴

＝

由两边对应项系数相等得：

，解此方程组得

或

∴当

时，原式可分解为

＝

；

当

时，原式可分解为

＝

练习：

为何值时，

能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。

答案：解得

∴原式可分解为

＝

说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系

数的也可用双十字相乘法。

方法三、双十字相乘法

双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的

二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。

其理论依据：若

可分解为

，则当

时，

＝

例3、把

分解因式。

解：可先用十字相乘法，把

分解，

，然后再用十字相乘法

，于是原式＝

。

练习：分解因式

答案：原式＝

方法四、双零分解法

理论依据：若

可分解为

，则当

时有

；当

时有

。因此在分解上述二元二次多项式时，可令

得关于

的二次三项式

分解为

；再令

得关于

的二次三项式

并分解为

；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。这时有

＝

。

例4、分解因式

解：令

有

＝

；

令

有

＝

所以有

＝

练习：分解因式

答案：原式

方法五：分析二次项、常数项法

若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。

例5、若多项式

有一个因式

，则另一个因式为＿＿。

解：由于多项式

有一个因式

，且原式二次项中含有

和

，所以另一个因式中必有一次项

；同时原式常数项中有－3，所以另一个因式中应有常数项－1。综上所述：原多项

式的另一个因式为

练习：多项式

有一个因式

，求它的另一个因式

答案：

＝