第四章 因式分解（5类压轴题专练）.docxVIP

第四章因式分解（5类压轴题专练）

题型一因式分解有关的变形与代换

1．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知，，则（）

A． B．3 C． D．1

3．已知，则代数式的值为（????）

A． B． C． D．

4．若，则代数式的值是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

题型二最值问题

5．已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则________．

6．若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为______，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为______．

7．对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为__________．

题型三因式分解的应用

8．阅读以下材料：

目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：

第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；

第二步，去括号，和对比发现，

二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；

第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．

请使用上述方法回答下列问题：

(1)因式分解：

①；

②；

(2)对关于的多项式因式分解：．

9．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式；

解法二：原式．

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；

【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；

（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．

10．对任意一个三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称m为“开心数”．现将m的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，并规定．

例如：143是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．

(1)______，______；

(2)若是8的倍数，则称这样的m为“幸运开心数”，求出所有的“幸运开心数”．

11．在平面直角坐标系中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点、满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是的分解点．例如、满足，所以是的分解点．

(1)在点、、中，请找出不存在分解点的点：______．

(2)点、在纵轴上在的上方，点在横轴上，且点、、都存在分解点，若面积为，请直接写出满足条件的的个数及每个三角形的顶点坐标．

题型四新定义、阅读材料题

12．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．

(1)若，，直接写出a，b的“如意数”c；

(2)如果，，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”；

(3)已知，且a，b的“如意数”，求b．（用含x的式子表示）

13．在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法．

①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是．

②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是．

③于是．

根据对应项系数相等，得，则．

④所以．

以上因式分解的方法叫“试根法”．

利用“试根法”，解决下面的问题：

(1)因式分解：．

解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是．

②因为原多项式最