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第十二章二次根式（复合二次根式化简和应用拓展）

复合二次根式化简

典例1

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，

．

(1)填上适当的数：______；

(2)当时，化简．

典例2

阅读材料：

小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简，

即：．

善于思考的小明进行了以下探索：

对于，若能找到两个数m和n，使且，则可

变为，即变成，从而使得．

（其中a，b，m，n均为正整数）

例如：∵，

∴．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)化简；

(2)化简；

(3)若，求a的值．

跟踪训练1

先阅读材料，然后回答问题．

(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考

①，

②，

③，

④，

在上述化简过程中，第___步出现了错误，化简的正确结果为___；

(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：

① ②

跟踪训练2

阅读材料：

小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：

设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．

这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；

(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．

(3)化简：．

二次根式应用问题

典例3

如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（????）．

A． B． C． D．

典例4

【阅读下列材料】：

若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）

【例】：若，，，求的最小值．

解：∵，，????∴，

∴．

∴时，的最小值为8．

【解决问题】

(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；

(2)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；

(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．

跟踪训练3

如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（????）

A． B． C． D．

跟踪训练4

阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号．

例如：已知，求式子的最小值．

解：令，，则由，得，

当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．

请根据上面材料回答下列问题：

(1)当，式子的最小值为_；

(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

??

(3)如图2，四边形的对角线相交于点，的面积分别是6和12，求四边形面积的最小值．

??

过关训练

1、如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为___________．

2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（????）

A． B． C． D．

3、阅读下列材料，解决问题：

①∵

∴

∴

②∵

∴

∴

……

由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简．

(1)化简：；

(2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由.

4、先阅读材料，然后回答问题．

（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

①

②

③

④

在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；

（2）化简；

（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．

5、阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：

如图，在中，，，．

(1)求的面积；

(2)设边上的高为，边上的高为，求的值．

6、阅读材料：

已知a，b为非负实数，，

，当且仅当“”时