浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试卷解析.docxVIP

参考答案：

1．A2．B3．A4．D5．D

6．B

【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，

即，

.

故选：B

7．C

【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.

因为正四面体的棱长为3，所以，

所以，设内切球的半径为，

则，，解得，

当为内切球的直径时最长，此时，，

，

因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.

??

故选：C

8．A

【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，

设点，，则，

因为为的重心，所以，

因为轴，所以点横坐标也为，，

因为为的角平分线，

则有，

又因为，所以可得，

又由角平分线的性质可得，，而

所以得，

所以，，

所以，即，

因为

即，解得，所以答案为A.

9．ABC

10．BD

11．BCD

【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，

故抛物线的方程为.

设点，，且

则直线的方程为，

联立，得，所以，

且.

因此，

故点的坐标为.

设切线的方程为，

联立可得，

由，可得

因为，所以，解得，

故切线的方程为，化简得，

同理切线的方程为，

联立，可得，所以点的坐标为，

所以点在直线上，故选项A错误.

因为点的坐标为，点的坐标为，

所以直线的方程为，故轴，所以选项D正确.

因为直线交于点，所以点的坐标为，

而点的中点为，所以是的中点，故选项B正确.

由抛物线的定义可知，，

故

，

所以有，故选项C正确.

故选：BCD.

12．BCD

【详解】由的图象可知，的值域为，

对于选项AC：令，

则在上恒成立，

可知在上单调递增，则，

即当且仅当等号成立，

令，若，可得，

令，

当，则，可知；

当，结合图象可知当且仅当，方程有根，解得；

即或，结合图象可知：

有1个根；有2个根；

综上所述：当时，有3个零点，故A错误，C正确；

??

对于选项B：令，若，可得，

令，即，

注意到，

由图象可知方程有两个根为一根为，另一根不妨设为，

即或，结合图象可知：

有1个根；有1个根；

综上所述：当时，有2个零点，故B正确；

??

对于选项D：令，若，可得，

令，即，

令，解得，

由图象可设方程有三个根为，且，

即或或，结合图象可知：

或有1个根；有3个根；

综上所述：当时，有5个零点，故D正确；

??

故选：BCD.

13．2

14．

15．

【详解】如图所示，

设正三棱柱上下底面的中心分别为.

底面边长与高分别为，则，

在中，，化为，

因为，，

当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为.

故答案为：.

16．

【详解】由题意得，

因为，所以，

即，

令，则恒成立，

因为，

令得，，单调递增，

令得，，单调递减，

且当时，恒成立，当时，恒成立，

因为，所以恒成立，故，

当时，，此时满足恒成立，

当，即时，由于在上单调递增，

由得，

令，，

则，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故在处取得极大值，也是最大值，，

故，即，所以，a的取值范围是.

故答案为：

17．

【详解】（1）设的公差为，由题意得

；

当时，则，，

当时，则，，，

是以1为首项，3为公比的等比数列，

；

（2）由（1）得，

，①

，②

①－②得，

.

18．

【详解】（1）因，由正弦定理可得：，

即.

因，故，则有，即，

因，故.

（2）因为为角平分线，所以，

所以.

因，，，则，

即，所以.

又由余弦定理可得：，

把，分别代入化简得：，

解得：或（舍去），所以.

19．

【详解】（1）过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．

因为点是线段的中点，，

所以且，且，又为的中点，

，且，四边形是平行四边形．

所以，平面，平面，

平面.

（2）解法1：以点为原点，所在的直线为轴、轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系．

设，则，设，

因为平面平面，所以点在平面上的射影落在直线上，

①，

由题意可知，②，

③，

由①②③解得，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，即，取，则，

取平面的法向量．

设二面角的平面角为，显然二面角为锐角，

则，

即二面角的余弦值为.

解法2：如图，过点作直线的垂线交于点，交直线于点．

由题意知，点在底面上的射影在直线上且在直线上，

所以点即点在底面上的射影，即平面，

设，则，

由余弦定理得，

所以，则，所以，

所以，，

所以，

所以．

过点作的垂线交于点，连接，因为平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，平面，

所以，是二面角的平面角，

由，解得，

所以，则，

所以二面角的余弦值为.

20．

【详解】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，

根据题意，，，，

由全概率公式，得

；

（2）（