2015-2024年十年高考数学真题分类汇编专题19 解三角形大题综合（解析版）.docx

2013-2024年十年高考真题汇编

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专题19解三角形大题综合

考点

十年考情（2015-2024）

命题趋势

考点1求面积的值及范围或最值

（10年7考）

2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷

2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷

2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷

2015·山东卷

掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题

本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。

考点2求边长、周长的值及范围或最值

（10年8考）

2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷

2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷

2015·山东卷

考点3求角和三角函数的值及范围或最值

（10年10考）

2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷

2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷

2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷

2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷

2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷

2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷

2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷

2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷

2015·全国卷

考点4求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长

（10年几考）

2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷

2015·安徽卷、2015·全国卷

考点5三角形中的证明问题

（10年4考）

2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷

2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷

2015·湖南卷

考点01求面积的值及范围或最值

1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．

(1)求；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.

【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；

（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；

【详解】（1）由题意得，因为为钝角，

则，则，则，解得，

因为为钝角，则.

（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，

此时，不合题意，舍弃；

选择②，因为为三角形内角，则，

则代入得，解得，

,

则.

选择③，则有，解得，

则由正弦定理得，即，解得，

因为为三角形内角，则，

则

，

则

2．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若，求面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．

【详解】（1）因为，所以，解得：．

（2）由正弦定理可得

，

变形可得：，即，

而，所以，又，所以，

故的面积为．

3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.

(1)求；

(2)若D为BC上一点，且，求的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；

(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

，

则，，

.

（2）由三角形面积公式可得，

则.

4．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论以及可解出