第9讲 线段（教师版）.docVIP

第9讲线段

（教师版）

一、解答题

1.已知O是△ABC中任意一点(如图)．求证：

【答案】证明：在△OAB中，OA+OBAB．

在△OAC中，OA+OCAC．

在△OBC中，OB+OCBC．

三式相加，得

2(OA+OB+OC)AB+AC+BC，

即(AB+AC+BC)OA+OB+OC．

【解析】【分析】根据三角形三边的关系：在△OAB中，OA+OBAB，在△OAC中，OA+OCAC，在△OBC中，OB+OCBC，根据不等式的性质，把三个不等式相加即可得出答案。

2.在△ABC中，D是BC中点，证明AB+AC2AD．

【答案】解:如图，将△ABD拼到直线DC的下方，使D与D重合，B与C重合(由于BD=DC，这是可以做到的)．

由于???∠EDC=∠ADB，

∠EDC+∠ADC=∠ADB+∠ADC=180°，

所以A、D、E三点在一条直线上，

AE=AD+DE=2AD．

在△AEC中，

AC+ECAE．

因为EC=AB，所以上式即①．

【解析】【分析】将△ABD拼到直线DC的下方，使D与D重合，B与C重合，首先根据平角的定义判断出A、D、E三点在一条直线上，然后根据线段的和差得出AE=AD+DE=2AD．最后根据三角形三边的关系即可得出结论。

3.如图，图中A、B、C、D四点是某厂的四个生产车间，现在要厂里建一个仓库，使仓库到A、B、c、D四个生产车间的距离的和最小．问仓库应建在何处?

【答案】解：如图，仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．下面证明PA+PB+PC+PD是最小的．

设点P′异于P点，要证明，

PA+PB+PC+PDP′A+P′B+P′C+P′D，

在△P′BC中，BCP′C+P′B，即

PB+PCP′C+P′B．

在△P′AD中，ADP′A+P′D，即

PA+PDP′A+P′D．

相加得，

PA+PB+PC+PDP′A+P′B+P′C+P′D．

所以P点是所求的点．

【解析】【分析】仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．证明PA+PB+PC+PD是最小，设点P′异于P点，此题实质就是证明PA+PB+PC+PDP′A+P′B+P′C+P′D，,根据三角形三边的关系可以得出BCP′C+P′B，ADP′A+P′D，即PB+PCP′C+P′B．PA+PDP′A+P′D，两式相加即可得出答案。

4.如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，问应当怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路线最短?

【答案】解:利用“对称”的方法来解决问题．

求出B关于河岸线的对称点B′．连结AB′，设它与河岸线交于C．C点就是最好位置(如图)．

即牧童赶着牛群从A出发，到C点饮水，再到B地，这条路线最短．理由如下．

若饮水点是另一点D，则牧童所走路线长为AD+BD．

连结B′D，由于B，B′关于河岸线对称，因此有

BC=B′C，BD=B′D，

所以AD+BD=AD+B′D，

AC+BC=AC+B′C=AB′．

在△ADB′中，有AD+B′DAB′，所以

AD+BDAC+BC．

即C点是所求的饮水点．

【解析】【分析】解法的实质是利用对称求最短问题，求出B关于河岸线的对称点B′．连结AB′，设它与河岸线交于C.C点就是最好位置(图)，将问题化成求A点与B′点之间最短线．根据对称的性质，BC=B′C，BD=B′D，根据等式的性质得出AD+BD=AD+B′D由线段的和差得出AC+BC=AC+B′C=AB′，根据三角形三边的关系即可得出AD+B′DAB根据两点之间线段最短，从而找到所求的最短路线．

5.如图，C、D、E将线段AB分成四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21．求PQ的长．

【答案】解：设A=2k．由题意，可得CD=3k，DE=4k，EB=5k，且

MN=MC+CD+DE+EN

=AC+CD+DE+EB

=×2k+3k+4k+×5k

=，

所以=21，k=2

因此PQ=PD+DQ

=CD+DE

=×3k+×4k

==7．

答PQ的长为7．

【解析】【分析】根据AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，设A=2k．由题意，可得CD=3k，DE=4k，EB=5k，根据线段中点的定义及线段的和差得MN=MC+CD+DE+EN=,又MN=21，从而得出k的值，由PQ=PD+DQ=即可得出答案。

6.如图，线段AB=2BC，DA=AB，M是AD中点，N是AC中点．试比较MN和AB+NB的大小．

【答案】解：设BC=2．则AB=4，DA=6，AC=4+2=6．

2MN=2MA+2AN