精品解析：湖南省永州市祁阳市第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题（解析版）.docx

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2024-2025学年祁阳一中第一学期期中考试试题

高三数学

2024.11.13

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合，再利用集合间的包含关系，即可求得实数的取值范围.

【详解】，

由，可得，

又，则.

故选：A

2.若，则复数的共轭复数的虚部是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法，化简整理为标准型，结合共轭复数与虚部的定义，可得答案.

【详解】，则，

所以复数的共轭复数的虚部是.

故选：B.

3.已知和的夹角为，且，则（）

A. B. C.3 D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】

故选：C

4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

【答案】C

【解析】

【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确.

【详解】A选项：如图：

在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误；

B选项：如图：

在正方体中，，此时，B选项错误；

D选项：如图：

在正方体中：，此时，D选项错误；

C选项：如图：

过作平面，使得，，∵，∴，则，

又∵，∴，∴，C选项正确.

故选：C.

5.已知，都是锐角，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，化切为弦得，代入即可求解.

【详解】由题意，又，

所以，即，

所以，所以.

故选：D

6.设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出点的坐标，借助向量坐标运算求出点坐标，代入椭圆方程求解即得.

【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，

则，而点在椭圆上，于是，解得，

所以的离心率为.

故选：A

7.已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（）

A.的周期为2 B.图象关于直线对称

C.为偶函数 D.为奇函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.

【详解】为奇函数，得，

即，则为奇函数，故C错误；

且图象关于点中心对称，故B错误；

可知，函数周期为4，故A错误；

，又图象关于点中心对称，知，

所以，得关于点对称，

则关于点对称，所以为奇函数，故D正确.

故选：D.

8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（）

A.466 B.467 C.932 D.933

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据的范围，确定的范围，结合已知条件以及函数的零点，得且，分别验证、、确定的范围，求出的最大值，代入函数解析式即可求解；方法二：利用换元的令，根据的范围，确定的范围，由，得出的范围，结合图象性质，以及已知条件，最终确定的最大值，代入函数解析式即可求解.

【详解】方法一：由题意，函数，可得函数的周期为，

因为，可得，

又由函数在区间上有且仅有一个零点，

且满足，且，可得，

即，且，

当时，，解得，所以；

当时，，解得，所以；

当时，，解得，此时解集为空集，

综上可得，实数的取值范围为.

所以，得，

，则，解得，

令，则有，

解得，即，

因为，所以共有467个零点.

方法二：由题意，函数，可得函数的周期为，

因为，可设，则，

又函数在区间上有且仅有一个零点，

可得，所以，则由图象性质，

可知，得，即.

或者，得，即.

所以最大为，得.

，则，解得.

令，则有：，

解得：，即，

因为，所以共有467个零点.

故选：B.

【点睛】思路点睛：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有个零点，需要确定含有个零点的区间长度，一般和周期相关.

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A.不共线，且，则.

B.若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是

C.已知，则在上的投影的坐标为