浙江省杭州市萧山区第八高级中学等两校2024-2025学年高三上学期联考（四）数学试卷（解析版）.docx

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2025届高三数学联考卷4

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设全集，集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.

【详解】由得，则；

当时，，所以；所以.

故选：.

2.已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用，计算出，所以，即可得解．

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以与的夹角为．

故选：A．

3.某公司通过研发技术、提升工艺、提高效率等方法来降低成本.假设该公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原来的，至少需要年，则（）（参考数据：，）

A.7 B.8 C.9 D.10

【答案】C

【解析】

【分析】由题意列式，根据指对数之间互化结合对数运算求解.

【详解】设该公司原来的年成本为，年成本低于原来的需要的时间为年，

则由题意得，得，得，

因为，所以.

故选：C.

4.已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知得球的半径，作出圆台的轴截面，求出圆台的上、下底面半径，由圆台的体积公式即可得解．

【详解】设球的半径为，由，解得．

作出圆台的轴截面，如图，设，则，

由相切的性质可知，，

易知，分别是，的平分线，即，，

又，

所以，所以，

所以，又，则，

所以，即，所以，

所以，解得（负值已舍去），

所以该圆台的体积为，

故选：D．

5.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（）

A.1 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.

【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，

圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：

易知圆心到直线的距离为，所以，

又，可得；

因此可得，

所以的面积为.

故选：D

6.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于()

A.10 B.9 C.8 D.5

【答案】D

【解析】

【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,

即cos2A=,

又因△ABC为锐角三角形,

所以cosA=.

△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,

即b2-b-13=0,

即b=5或b=-(舍去),故选D.

7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率.

【详解】如图：

因为的周长为，，，所以，.

又，

所以.

所以椭圆的离心率为.

故选：C

8.不等式对任意恒成立，则的最小值为（）

A. B.2 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可.

【详解】由题意可得，需满足是的一个根，

即，且，所以，

，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9.为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（）.（若服从正态分布，则

A. B.

C. D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正态分布的知识，进行计算求解即可．

【详解】由题意可知，服从正态分布，服从正态分布，

所以

，故A错误；

，故B正确；

，所以C正确，D错误.

故选：BC．

10.已知函数，则（）

A.的最小正周期为

B.为的图象的一个对称中心

C.在上单调递增

D.将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点

【答案】AB

【解析】

【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】函数，最小正周期，故A正确；

，则为的图象的一个对称中心，故B正确；

时，，易知在上先减后增，

故