第15讲 综合除法和余数定理.docVIP

第15讲综合除法和余数定理

一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）

1.计算3x3?5x+6除以(x-2)所得的商式及余数．

2.求2x3+5x2?4x4+8除以x+3所得的商式及余数．

3.用综合除法计算

(?6x4?7x2+8x+9)÷(2x?1)．

4.用综合除法计算

(27x3?9x2+5x?2)÷(3x?2)．

5.求除以x+1所得的余数．

6.设f(x)=x4+3x3+8x2?kx+11被x+3整除，试求k的值．

7.设f(x)=2x3+x2+kx?2能被2x+整除，求k值.

8.设f(x)=3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8，求f(-)．

9.设f(x)=x4?ax2?bx+2被(x+1)(x+2)整除，求a、b的值．

10.求f(x)=3x4?8x3+5x5?x+8除以2x-4所得的余数．

11.若f(x)=2x3?3x2+ax+b除以x+1所得的余数为7，除以x-1所得的余数为5，试求a、b的值．

12.设f(x)=x2+mx+n(m、n都是整数)既是多项式x4+6x2+25的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，求f(x)。

13.多项式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余数分别是1、2、3，试求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。

14.已知多项式f(x)=ax3+bx2?8x?12被x-2和x-3整除，试求a、b的值，并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。

15.若x5?5qx+4r被(x?2)2整除，求q与r的值．

16.已知关于x的三次多项式，f(x)除以x2?1时，余式是2x-5；除以x2?4时，余式是-3x+4．求这个三次式．

17.一个整系数三次多项式f(x)，有三个不同的整数a1、a2、a3，使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1．又设b为不同于a1、a2、a3的任意整数，试证明：f(b)≠1.

答案解析部分

一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）

1.【答案】解：?用综合除法计算如下：

∴商式为：3x2+6x+7，余数为：20.

【解析】【分析】综合除法过程如下：

(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.

2.【答案】解：将多项式按x的降幂排列为：?4x4+2x3+5x2+8，由综合除法得：

∴商式为：-4x3+14x2-37x+111，余数为：-325.

【解析】【分析】综合法过程如下：(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.

3.【答案】解：∵(2x?1)=2（x-），

∴先用(?6x4?7x2+8x+9)÷（x-），

∴?6x4?7x2+8x+9=（x-）（-6x3-3x2-x+）+，

=2（x-）×（-6x3-3x2-x+）+，

=(2x?1)（-3x3-x2-x+）+，

∴商式为：-3x3-x2-x+，余数为：.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)?q(x)+r；

从而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余数仍为r．

4.【答案】解：∵(3x?2)=3（x-），

∴先用(27x3?9x2+5x?2)÷(x-)，

∴27x3?9x2+5x?2=(x-)（27x2+9x+11）+，

=3(x-)×（27x2+9x+11）+，

=(3x?2)（9x2+3x+）+，

∴商式为：9x2+3x+，余数为：.