高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 第1课时 比较法、分析法、综合法课件 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学课件.pptVIP

;学习目标;阅读教材P16～P18的有关内容，完成下列问题：

1．比较法

(1)作差比较法

我们已经知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，因此，要证明a＞b，只要证明____________即可，这种方法称为作差比较法．;1．(1)作差比较法主要适用的类型是什么？实质是什么？

(2)作商比较法主要适用的类型是什么？

提示：(1)作差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不等式证明．实质是把判断两个数(或式子)大小的问题转化为判断一个数(或式子)与0大小的问题．

(2)作商比较法主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明．;2．分析法

从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“____________”的证明方法．;

3．综合法

从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“____________”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．;2．试分析综合法与分析法证明不等式的逻辑关系．

提示：综合法A(已知)?B1?B2?…?Bn?B(结论)，逐步推演不等式成立的必要条件．

分析法B(结论)?Bn?Bn－1?…?B1?A(已知)，步步寻求不等式成立的充分条件．;用比较法证明不等式;

(1)解析：a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)

＝a4－2a2b2＋b4＋8a2b2－4ab(a2＋b2)

＝(a2－b2)2－4ab(－2ab＋a2＋b2)

＝(a－b)2[(a＋b)2－4ab]

＝(a－b)2(a－b)2＝(a－b)4.

因为a≠b，所以(a－b)4＞0.

所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

答案：＞;【点评】比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法．当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式，一般使用作差比较法，当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为积的形式或幂指数的形式时，一般使用作商比较法．;1．(1)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

(2)已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.

证明：(1)2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)

＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，

所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0.

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b.;用分析法证明不等式;

【点评】用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，???以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可．;有[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1)，

由x≥1，y≥1，得

(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.

从而所要证明的不等式成立．;用综合法证明不等式;3．已知a，b，c是互不相等的正数，且abc＝1.求证：(1＋a＋b)(1＋b＋c)(1＋c＋a)＞27.;

因为a，b，c是互不相等的正数，

所以上述不等式中等号不成立．

因为abc＝1，

所以(1＋a＋b)(1＋b＋c)(1＋c＋a)＞27.;分析法与综合法结合起来证明不等式;

【点评】在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的．使用综合法证明不等式难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律．有时问题的证明难度较大，常使用分析综合法，实现从两头往中间靠以达到证题目的．;

;3．分析法与综合法

(1)分析法与综合法相辅相成，对于较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．

(2)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论出现为止．;