专题-逆等线（解析版） .docx

逆等线专题

一、知识点学习

1、什么是逆等线段。

两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。

2、解题步骤:

1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形)

2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。

3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。

4.问题转化为将军饮马问题求最值。

【模型解读】

△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。

一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。

观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。

这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述

如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。

分析思路：

①AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个

也叫做一边一角造全等。

②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）

③构造出△ADC≌△CEF(SAS),证出EF=CD

④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求

此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值

⑤求BF

二、常考题型

考点1平移，对称或构造平行四边形

如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．

【答案】10

【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．

【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，

∵，EF＝CG，

∴四边形EFGC是平行四边形，

∴CE＝FG，

∴AF+CE＝AF+FG，

∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，

由勾股定理得，AG＝＝＝10，

∴AF+CE的最小值为10

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为．

【答案】4

解：如图：

构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，

则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，

∵AD＝BF，∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形，

∴DF＝CE，∴CD+CE＝CD+DF≥CF，

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4，故答案为：4．

如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为．

??

【答案】

【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．

【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接

??

由题意得：

∵

∴

∴

∵

∴

∴的最小值为

如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________．

A

A

D

B

C

F

E

O

【答案】

【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝．

∵EF⊥AC，∴由矩形内十字架模型可知，

＝，∴＝，∴EF＝．

以EF，EC为邻边作□EFGC，则EC＝FG，CG＝EF＝，

A

A

D

B

C

F

E

O

G

∠ACG＝∠EOC＝90°．

在Rt△ACG中，AG＝＝，

∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝，

∴AF＋FE＋EC的最小值为．

如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为．

【答案】13

【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．

【详解】解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，

∵AP=CQ，

∴AD-AP=BC-CQ，

∴DP=QB，DPBQ，

∴四边形DPBQ是平行四边