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高中不等式知识点总结

1.不等式的定义和基本性质

不等式是数学中用来表示大小关系的符号。一般地，设a、b是实数，可以有以下

四种不等式关系：

•$ab$：表示a小于b，即a严格小于b；

•$ab$：表示a大于b，即a严格大于b；

•$ab$：表示a小于等于b，即a小于或等于b；

•$ab$：表示a大于等于b，即a大于或等于b。

基本性质：

•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于

等于b-c（c为实数）；

•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，

若c小于0，则ac大于等于bc；

•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，

若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。

2.一元一次不等式

2.1不等式的解集表示

一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。对于形如ᵄᵆ+ᵄ0或ᵄᵆ+ᵄ

0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式

的解集：

•当a0时，不等式的解集为ᵆ−ᵄ/ᵄ或ᵆ−ᵄ/ᵄ；

•当a0时，不等式的解集为ᵆ−ᵄ/ᵄ或ᵆ−ᵄ/ᵄ。

2.2一元一次不等式的性质

•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；

•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；

•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。

3.一元二次不等式

3.1不等式的解集表示

2+ᵄᵆ+ᵅ0或

一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。对于形如ᵄᵆ

2

ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，

再根据D的正负判断不等式的解集。

•当a0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；

•当a0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。

3.2一元二次不等式的性质

()2

•对于二次函数ᵅᵆ=ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ，若a0，则f(x)在抛物线顶点处取得最

()

小值，解集为ᵅᵆ0的区间；若a0，则f(x)在抛物线顶点处取得最大值，

()

解集为ᵅᵆ0的区间；

•当二次不等式的左边是一个非负数（或非正数）乘以一个非负数（或非正数）

时，可以利用积的性质解决不等式。

4.一元多项式不等式

4.1不等式的解集表示

()()

一元多项式不等式的解集可以用数轴上的区间表示。对于形如ᵄᵆ0或ᵄᵆ0

的一元多项式不等式，可以先求出多项式的零点，再根据多项式的正负性质判断不

等式的解集。

4.1.1复杂多项式不等式的解集表示

对于复杂多项式不等式，可以通过将不等式化简为一元一次或一元二次不等式，再

求解。

4.2一元多项式不等式的性质

•当多项式P(x)的系数全为非负数（或非正数）时，可以利用系数的性质判

断不等式的解集。

5.二元一次不等式

5.1不等式的解集表示

二元一次不等式的解集可以用平面上的图形表示。对于形如ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ0、

ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ0、ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ=0或ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ=0的二元一次不等式，可以

先求出直线的斜率和截距，再根据直线的位置和不等式方向推断不等式的解集。

5.1.1二元一次不等式的解集表示举例

以ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ0为例，解集可以表示为在直线ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ=0上方的区域。

5.2二元一次不等式的性质

•对于二元一次不等式，若已知一组解，则该不等式的解集为包含该组解的区