新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的恒等变形(分式竞赛题)教案讲义(解析版).doc

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分式恒等变形（竞赛部分）

分式恒等变形（竞赛部分）

例题精讲

例题精讲

一、化分式为部分分式的和

若，求、的值.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】，所以，所以

【答案】

【巩固】已知正整数满足，则的最小值是．

【考点】化分式为部分分式和

【难度】4星

【题型】填空

【关键词】

【解析】略．

【答案】16

已知与的和等于，求，.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】06年，宁波市重点中学，自主招生试题

【解析】

所以，解得

【答案】

若关于的恒等式中，为最简分式，且有，，

求.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】，所以，

利用配方思想解得：或，∵，∴，∴

【答案】

将化为部分分式.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】

【解析】∵,

故设.

∵

∴

比较两边分子对应项的系数，得

解之得

∴.

【答案】

化为部分分式．

【考点】化分式为部分分式和

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】

【解析】设，

通分后比较对应项的系数，得

解得，∴.

【答案】

将下列分式写成部分分式的和的形式：.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】

【解析】因为，所以我们假设其具有的形式.两边同时乘，

得：.

比较同次幂的系数可得

解得，，从而.

【答案】

【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】

【解析】因为，故可假设其具有的形式，则有：

.

比较和的系数，可得方程组从而

因此．

【答案】

将下列分式写成部分分式的和的形式：.

【考点】化分式为部分分式和

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】

【解析】观察分母的结构，我们可以设.

通分之后比较分子，可得：

.

令，得到，即；

令，得到，即；

令，得到,即；

令，得到,即；

令，得到，即；

由此解得．

从而．

【答案】

二、分式的恒等证明

求证：

【考点】分式恒等证明

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】1994年，广东潮州市初中数学竞赛

【解析】略

【答案】左边

右边。

已知：，求证：.

【考点】分式恒等证明

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】略

【答案】由得，故，，

若，，，求证：

【考点】分式恒等证明

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】略

【答案】

若，求证：.

【考点】分式恒等证明

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】略

【答案】解法1：因为，故，，.

则

，

注意到，故上式.

解法2：因为，故，，.

则

.

解法3：由可得，

则

.

点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“”在其中的使用，更是值得细细品味.

当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题——过于烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路．

【巩固】已知，求证：.

【考点】分式恒等证明

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】2003年，第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题

【解析】略

【答案】，

即，故，

则，故.

等式两边同时除以，可得，

进而，则，

故，从而，

故，展开并化简，可得，

即，从而，故.

点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的时候，我们从左边的式子里面提出两个，从而让整个式子得到简化.

已知，求证：.

【考点】分式恒等证明

【难度】6星

【题型】解答

【关键词】

【解析】略

【答案】本题在形式上和上题如出一辙，我们不妨沿袭上面的解法．

因为，

故，

则，

同理，，

.

从而

.

点评：我们把已知条件这一形式向要证明的结论作

一个过渡：

，

而，

故.

点评：这一因子并不突兀，因为我们要在已知条件和要证结论之间搭起桥梁，而乘上恰好可以达到这一目的.

在数学竞赛中，有一个技能无论怎么强调都不过分，它就是“恒等变形”.在我们上面所讲授的题目中，它是一个极其重要(甚至是不可或缺)的工具，多处展现了其高超的技巧性，而这种“技巧”有时是靠灵光突至，有时靠的是丰富