2015-2024年十年高考数学真题分类汇编专题25 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）（解析版）.docx

2013-2024年十年高考真题汇编

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专题25新定义综合

（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）

考点

十年考情（2015-2024）

命题趋势

考点1数列新定义

（10年10考）

2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷

2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷

2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷

2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷

新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。

题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。

压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，

新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。

考点2函数新定义

（10年4考）

2024·上海、2020·江苏、2018·江苏

2015·湖北、2015·福建

考点3集合新定义

（10年3考）

2020·浙江卷、2018·北京卷

2015·山东卷、2015·浙江卷

考点4其他新定义

（10年2考）

2020·北京卷、2016·四川卷

考点01数列新定义

小题

1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数，其中，记．则（????）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】对于A选项，，，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选：ACD.

2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据新定义，逐一检验即可

【详解】由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，

，不满足；

对于选项D，

，不满足；

故选：C

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.

大题

1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．

(1)写出所有的，，使数列是可分数列；

(2)当时，证明：数列是可分数列；

(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；

（2）根据可分数列的定义即可验证结论；

（3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义.

【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形，

得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是，或，或.

所以所有可能的就是.

（2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：

①，共组；

②，共组.

（如果，则忽略②）

故数列是可分数列.

（3）定义集合，.

下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，

则数列一定是可分数列：

命题1：或；

命题2：.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果，且.

此时设，，.

则由可知，即，故.

此时，由于从数列中取出和后，

剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：

①，共组；

②，共组；

③，共组.

（如果某一