2024第40届中国数学奥林匹克试题.pdf

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2024第40届中国数学奥林匹克

第一天

2

1.给定无理数α1和正整数L,满足Lα.数列{a}满足xL,且x为正整数，对任意正

α-1n11

整数n,

αx,x≤L



nn

x=.



n+1xn,xL

n





α

证明：

(1){x}为最终周期数列；

n

(2){x}的周期T与x无关，且为奇数.

n1

2.在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为AI,AC,CI的中点，点D在线段AM上，满足BC=BD.

△ABD的内切圆和AD,BD分别切于点E,F.点J为△AIC的内心，ω为△JMD的外接圆.直线

MN再次交ω于点P,JL再次交ω于点Q.求证：PQ,LN,EF三线共点.

3.给定整数aa⋯a1,记M=lcm{a,a,⋯,a}.对任意非空有限正整数集X,定义

12n12n

x

f(X)=min{}



1≤i≤nx∈Xai

2

若对X的任意真子集Y,都有f(Y)f(X),则称X是极小的，且f(X)≥.

a

n

求证：|X|≤f(X)⋅M.

第二天

4.定义坐标平面上两点P(x,y)和P(x,y)之间的“小数距离”为

111222

22

x-x+y-y

1212

其中x表示x到最近整数的距离.求最大的实数r,使得平面上存在四点，它们两两之间的小数