第2讲 绝对值（教师版）.docVIP

第2讲绝对值——例题

（教师版）

一、第2讲绝对值（例题部分）

1.绝对值为10的整数有哪些?绝对值小于10的整数有哪些?绝对值小于10的整数共有多少个?它们的和为多少?

【答案】解:绝对值为10的整数有+10和-10两个，绝对值小于10的整数有0，±1，±2，…，±9，共2×9+1=19(个)，它们的和为：

0+1+(-1)+2+(-2)+…+9+(-9)=0．

【解析】【分析】整数是离散的，所以满足要求的只有有限多个，要是改求绝对值小于10的有理数，那就有无限多个．

2.若-2≤a≤0，化简

【答案】解：因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0-20，

因此

=(a+2)-(a-2)

=4.

【解析】【分析】由已知条件-2≤a≤0可得，，然后根据绝对值的性质即可化简。

3.若，化简

【答案】解：因为。所以从而

因此，原式=

【解析】【分析】根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对信符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号(如本例中的分子，通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．

4.设，且，试化简

【答案】解：因为，，所以

，即

所以x+1,

因此=-x-1+x-2=-3

【解析】【分析】绝对值符号内的数、式的正负，有时不能直接从所给条件得出，应先将已知条件化为我们所需要的条件。由已知条件a0可得，又因为x，而a与互为相反数，所有x-1,根据绝对值的性质即可化简。

5.数a、b在数轴上对应的点如图所示，试化简

|a+b|+|b?a|+|b|?|a?|a||

【答案】解：由图可知a0，b0，而且由于a点离原点的距离比b点离原点的距离大，因此a+b0．我们有

|a+b|+|b?a|+|b|?|a?|a||=?(a+b)+(b?a)+b?|a?|a||

=-a-b+b-a+b-（-2a）=b

【解析】【分析】由图，即数轴上a、b两点的位置，“读”得a0．b0，a+b0等条件，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，即可化简．

6.化简

【答案】解：要去掉绝对值符号．必须讨论x的取值．

显然，由于分母不能为0．因此x≠0．

当x0时．

当时

【解析】【分析】当题设没有给出绝对值符号中的代数式的正负时．应分类进行讨论．分类是数学的一种重要思想．绝对值问题是运用分类思想的良好素材．下面的例子中，含有两个绝对值符号，我们根据零点分段，把整个数轴分成几段进行讨论．

7.化简

【答案】解：当时

原式=

当

原式=

当时

原式=

即原式=

【解析】【分析】确定了讨论的范围后，原式的化简就方便多了．令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，即x+5=0，2x-3=0，可得x=-5，x=；于是可确定讨论范围为：x?5，?5≤x，x≥?．根据这三个范围讨论即可化简．

8.化简||x?1|?2|+|x+1|

【答案】解：先找零点

由x-1=0得x=1

由=0即=2，得x-1=±2.。从而x=-1或x=3，由x+1=0,得x=-1

当时

原式=

=

=-x-1-x-1=-2x-2

当时

原式=

=

=x+1+x+1=2x+2

当时

原式=

=

=3-x+x+1=4

当时

原式=

=

=x-3+x+1

=2x-2

即原式=

【解析】【分析】由于题干原式中含双重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑的零点．即由x-1=0得x=1；由x+1=0得x=-1，由|x?1|?2=0即|x?1|=2，得x-1=±2.。从而x=-1或x=3，分x?1,?1≤x1,1≤x3,x≥3四种情况讨论化简。

9.若与互为反函数，试求

【答案】解：因为与互为反函数所以

因为与都是非负数，所以必有

x-1=0,y+2=0

x=1,y=-2

即于是有

【解析】【分析】若两个或两个以上的非负数的和为0，则每一个非负数都为0．到目前为止，我们学过的非负数有绝对值与偶次幂(主要是平方数)．则有：

若则x-a=0且y-b=0

若则x-a=0且y-b=0

若则x-a=0且y-b=0

10.a、b为有理数，且，试求ab的值．

【答案】解：当a+b0时，由得b=-b,从而b=0

当时，由，得-a=a

从而a=0

所以，不管是还是，a、b中至少有一个为0，因此，ab=0

【解析】【分析】由绝对值的非负性可得：当a+b≥0时，由已知条件得，a+b=a?b，解得b=0；

当a+b0时，由已知条件得，?(a+b)=?a?b，解得a=0。