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2010-2023历年江苏省淮安市高三数学第一次调研测试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共25题)

1.若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是?????．

2.已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A．

3.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是?????．

4.已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有?成立，且．

（1）求，的值；

（2）猜想数列的通项公式，并给出证明．

5.若，则的值是?????．

6.已知的内角的对边分别为，．

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值．

7.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．

（1）求证：；

（2）若平面与平面的交线为，求证：．

8.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近?的一点，为圆周上靠近?的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）求观光路线总长的最大值.

9.如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．

10.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是?????．

11.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

12.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是?????

13.已知集合，，则=?????．

14.如图，已知A,B,C是圆O上的三点，BE切圆O于点B,D是CE与圆O的交点，若求线段CD的长.

15.已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围

16.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．

17.已知函数（其中是自然对数的底数），，．

（1）记函数，且，求的单调增区间；

（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

18.若，，是实数，则的最大值是????．

19.已知是等差数列，若，则的值是????．

20.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是?????．

21.在如图所示的算法中，输出的的值是?????．

22.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是?????．

23.如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是?????．

24.若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是?????．

25.如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是????．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，共有种方法，其中在，号盒子中各有一个球有种方法，因此所求概率是

考点：古典概型概率

2.参考答案：试题分析：根据特征值与特征向量关系求矩阵：设矩阵，则有，，从而所以．

试题解析：设矩阵，这里，

因为是矩阵A的属于的特征向量，则有?①，??4分

又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有②???6分

根据①②，则有??????????????????????????8分

从而所以．?????????????10分

考点：特征值与特征向量

3.参考答案：试题分析：关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程:

考点：反射直线

4.参考答案：（1），（2）试题分析：（1）代入求特殊项：当时，由，即有解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以（2）由，，，猜想：，证明关键在于计算：，所以

所以因为，，，又，所以．

试题解析：（1）因为，

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．?????????????2分

当时，由，

解得，所以．????????????????????4分

（2）由，，，猜想：???????????5分

下面用数学归纳法证明．

1o当，，时，由（1）知均成立．??????????6分

2o假设成立，则，

由条件得，

所以，????????????????8分

所以?????????????9分

因为，，，

又，所以．

即时，也成立．

由1o，2o知，对任意，．????????