高等数学课件：微分中值定理.ppt

目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回.微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理罗尔(Rolle)定理如果函数满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使那么在(a,b)内至少存在一点若对在x0可导.那么或设函数费马(fermat)引理拉格朗日(lagrange)中值定理(1)在闭区间[a,b]上连续如果函数满足:(2)在开区间(a,b)内可导那么至少存在一点使得拉氏柯西(Cauchy)中值定理分析:(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内那么至少存在一点使如果函数及满足:问题转化为证柯西构造辅助函数证明:且使即由罗尔定理知,思考:柯西定理的下述证法对吗?两个?不一定相同错!上面两式相比即得结论.设至少存在一点柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率Lagrange定理例设一点使得分析:则在[a,b]上满足故在(a,b)内至少存在一点?,使即证明至少存在在[a,b]上可导(a0),证明:即证柯西中值定理条件,设内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习1填空题(1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理的(2)设有个根,它们分别在区间内.方程2设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设即求证存在使3设可导，且在连续，证明:因此至少存在一点显然在上满足罗尔定理条件,即使得设辅助函数4设在内二阶可导,其中使得证明:由题设可知,证明:∴存在在上满足罗尔定理条件.至少存在一点且上满足及使得使得在∴至少存在罗尔定理条件.一点5若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.设目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回.