高等数学课件：无穷级数.ppt

例6判断下列级数是否收敛,若收敛,是否为绝对收敛.(2)(1)解：(1)原级数为交错级数,,,故且由莱布尼兹判别法知原级数收敛.但由于为调和级数是发散的,故原级数为条件收敛.(2)由于,而为收敛级数,故原级数收敛,并且为绝对收敛.第三节幂级数通项都是常数的级数,称之为常数项级数.若通项都是函数的级数,称之为函数项级数.我们将通项是幂函数所形成的函数项级数所形成的函数项级数(1)称之为以为中心的幂级数.幂级数是表示函数的新方法，可看作是多项式函数的推广.我们将着重讨论的情形.因为，即可把以为中心的幂级数转化成以=0为中心的幂级数.一、幂级数的概念与性质1、幂级数的概念及其收敛性定义1形如(2)的级数称为的幂级数,其中都是常数,称为幂级数的系数,称为幂级数的通项.称为在处的幂级数.对于每一个确定的实数,幂级数(2)成为常数项级数.(3)这个级数可能收敛,也可能发散,如果收敛,则称点是幂级数(2)的收敛点;如果发散,则称点是幂级数(2)的发散点,幂级数(2)的所有收敛点的全体组成的集合称为它的收敛域,将之记作.所有发散点的全体组成的集合称为它的发散域.在收敛域上,幂级数的和是的函数,通常称为幂级数的和函数,其定义域就是级数的收敛域,并记为.下面我们给出幂级数的收敛域的求法.定理1如果幂级数不是仅在处收敛,也不是在整个上都收敛,则必有一个确定的正数存在,使得(1)当时,幂级数收敛;(2)当时,幂级数发散;(3)当和时,幂级数可能收敛,也可能发散.称为幂级数(2)的收敛半径,开区间叫做幂级数(2)的收敛区间,再由幂级数在处是否收敛来决定它的收敛域.说明：如果幂级数(2)只在处收敛,此时收敛域只有一点,规定它的收敛半径为;如果幂级数(2)对一切都收敛,规定收敛半径,此时收敛域是.定理2如果幂级数的通项的系数满足:则就是的收敛半径.注意：常数项级数的比值判别法去判断级数收敛性时,是后项与前项的比值,而该定理考虑收敛半径是幂级数通项前项与后项的系数的比值，这里需要大家注意比较.例1求下列幂级数的收敛半径和收敛域.(2)(1)解：(1),故收敛半径当时,原幂级数为调和级数是发散的.当时,原幂级数为是一个交错级数,根据莱布尼兹判别法知,是收敛的.因此原级数的收敛域为.（2）故收敛半径,即原幂级数仅在处收敛.高等数学无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 第二节常数项级数的审敛法 第三节幂级数 第四节函数展开成幂级数 我们研究世界万物都是从感性到理性、从有限到无限、从规则到不规则，然后再彼此间建立千丝万缕的联系。数与函数的研究，也是如此。无穷级数是数与函数的另一种重要表达形式，也是数学理论研究与实际应用中极其有力的工具。无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用。研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限