重难点05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题（14题型）.docx

重难点05二次函数与几何的动点及最值、存在性问题

目录

TOC\o1-2\h\u重难点题型突破 2

题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题 5

题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题 7

题型03已知点关于直线对称点问题 9

题型04特殊角度存在性问题 11

题型05将军饮马模型解决存在性问题 13

题型06二次函数中面积存在性问题 16

题型07二次函数中等腰三角形存在性问题 18

题型08二次函数中直角三角形存在性问题 22

题型09二次函数中全等三角形存在性问题 25

题型10二次函数中相似三角形存在性问题 26

题型11二次函数中平行四边形存在性问题 29

题型12二次函数中矩形存在性问题 32

题型13二次函数中菱形存在性问题 34

题型14二次函数中正方形存在性问题 37

重难点题型突破

1.二次函数常见存在性问题：

（1）等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.

【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.

（2）平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.

（3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.

（4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.

（5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.

2.二次函数与三角形综合

(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：

①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;

②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.

(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.

(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.

问题

分情况

找点

画图

解法

等腰三角形

已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形

以AB为腰

分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求

分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标

以AB为底

作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P3即为所求

分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标

问题

分情况

找点

画图

解法

直角三角形

已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形

以AB为直角边

分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求

分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标

以AB为斜边

以AB的中点Q为圆心，QA为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求

注：其他常见解题思路有：

①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；

②平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解．

（4）与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.

情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：

解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形