第20讲 奇数和偶数 （教师版）.docVIP

第20讲奇数和偶数

（教师版）

一、第20讲奇数和偶数

1.一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间.问：

（1）如果最初小船在左岸，过河若干次后，又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数?如果最后到了右岸，情况又是怎样呢?

（2）如果小船最初在左岸，过河99次后，停在左岸还是右岸?

【答案】（1）解：小船最初在左岸，过1次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸；即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了二次河.

因此，若小船由左岸开始，过河多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，即偶数.

同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数.

（2）解：在(1)中，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸.

∵现在小船过河99次，是奇数次.

∴最后小船应该停在右岸.

【解析】【分析】（1）根据题意可知：若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸.

（2）由（1）中规律可知小船停在右岸.

2.9999和99！(注：99！=1×2×3×4×...×99，读作99的阶乘)能否表示成为99个连续的奇数的和?

【答案】解：(1)9999能表示成99个连续奇数的和.

∵9999=(9998-98)+(9998-96)+…+(9998-2)+9998+(9998+2)+…+(9998+96)+(9998+98).

∴9999能表示为99个连续奇数的和.

(2)99！不能表示成99个连续奇数的和.

∵99！=1×2×3×…×99是偶数，而99个奇数的和是奇数，

∴99！不能表示为99个奇数的和.

【解析】【分析】9999=99×9998.先写下9998，然后写出9998后面的49个连续的奇数，又写出9998前面的49个连续的奇数，这99个连续的奇数和正好是99×9998=9999；另一方面，99！是偶数，而99个奇数的和是奇数.

如果答案是肯定的，我们常常将满足题意的例子举出来或造出来，这称为构造法.

如果答案是否定的，常常采用反证法，找出其中的矛盾.

3.图是一所房子的示意图，每一个房间与相邻的房间都有门相通.小明在某一房间中，他想从这个房间开始不重复地走遍每一个房间.能做到吗?若能，他开始时应在哪一个房间?又应该怎样走?

若不能.请说明理由。

【答案】解：不能做到.

将题图的房间黑白相间地涂，如下图，

这样，不论小明从哪一间房间出发，他总是从白房间走进黑房间，或者从黑房间走进白房间.

因此，走法必为：白黑白黑……或者为：黑白黑白……不管哪一种走法，黑房间的数目与白房间的数目相等或者相差一.

而图中白房间5间，黑房间3间，相差2间.

因此不能走遍每一个房间而不重复.

【解析】【分析】说明与整数可以分为奇数与偶数两类一样，我们把房间涂上黑白两色，分成两类.几个连续的整数，必然是奇偶相间，而且奇数个数与偶数个数相差至多为一个.类似地，房间的走法也是黑白相间。因此，黑、白房间的数目至多相差一.这一点正是我们解决本例的关键.因此，从本质上说，我们还是利用奇偶性来解决问题的。事实上，如果我们不用黑白两色来涂房间，而是将房间相间地贴上奇偶两字，问题一样得到解决.

4.把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有没有可能”使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由.

【答案】解：如果每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数；但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每个圈都在两条直线上，因而都被计算了两次，从而相加的总和应该是偶数.

两方面的结果是矛盾的.

因此，不可能使同一条线上的红圈数都是奇数.

【解析】【分析】根据奇偶的性质：奇数×奇数=奇数，假设每条线上红圈都是奇数个，由此计算可得奇数；但是线线交汇处的点被计算了两次，可得相加为偶数；故矛盾，假设不成立.

5.围棋盘上有19×19个交叉点，在交叉点上已经放满了黑子与白子，并且黑子与白子相间地放，即黑子(或自子)的上、下、左、右都放着白子(或黑子).问能否把这些黑子全部移到原来白子的位置上，而白子也全移到原来的黑子的位置上?.

【答案】解：不能.

∵19×19=361，是奇数，

∴必有奇数个白子，偶数个黑子；或者奇数个黑子，偶数个白子；

即黑、白子数必然一奇一偶.

∴奇数不可能等于偶数，

∴无法使黑子与白子的位置对调.

【解析】【分析】根据题意可得奇数个白子，偶数个黑子；或者奇数个黑子，偶数个白子；即黑、白子数必然一奇一偶；故无法使黑子与白子的位置对调.

6.参加会议的人，有不少互相握过手.握手的次数是奇数的那部分人，人数是奇数还是偶数?为什么?

【答案】解：由于每握一次手，握手的两个人，每一个都握了一次手