第1讲 有理数的巧算（教师版）.docVIP

第1讲有理数的巧算——例题

（教师版）

一、第1讲有理数的巧算(例题部分)

1.计算:

【答案】解:原式=

=

=0+0+0

=0

【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．

2.计算

【答案】解:原式=

=

=

【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。

3.计算

【答案】解:原式=

=

【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．

4.计算

【答案】解：原式=

=

=

=……

=

=1-

=

【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。

5.计算???????????????????????????????????????????

（1）1+2+3+4++2007+2008

（2）1-2+3-4++2007-2008

【答案】（1）解:令S=1+2+3+4++2007+2008则

S=2008+2007+2+1

两式相加,得

2S=

=

=20092008

所以S=

即原式=

（2）原式=

=

=-1004

【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：

所以，本题也可用这个计算公式计算．

有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：

(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．

6.计算

【答案】解：原式=

=1-

==

【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。有其他常用的拆项方法如：

（1）它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为d的情形．

（2）

7.??2002加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的。最后得到的数是多少?

【答案】解：由2002加上它的得，再加上这个数的得。依此类推，最后得到的数为

=

=

=2005003

【解析】【分析】由题意可得，得到的第一个数为2002；得到的第二个数为2002；；得到的第2001个数为2002；在乘法运算过程中，将括号内的数通分后再约分，即可求解．