高等应用数学基础课件：线性方程组.ppt

第一步，写出系数矩阵A；

第二步，对系数矩阵A施行初等行变换化为阶梯矩阵（行简化阶梯矩阵）；

第三步，写出同解方程组的一般解；

第四步，分别令自由元中一个为１其余为０的办法，求得n-r个解向量____基础解系。求齐次线性方程组AX=0基础解系方法设X0是非齐次线性方程组AX=B的一个解,X1,X2,X3,???,Xn-r为相应的齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则AX=B的通解为:X0+k1X1+k2X2+···+kn-rXn-rK1,k2,···,kn-r为任意常数。非齐次线性方程组AX=B解的性质问?，?为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？例题1（无解、唯一解、无穷多解判别）例题（存在性）（1）(A-1)-1=A

（2）(kA)-1=k-1A-1

（3）(AB)-1=B-1A-1

（4）(AT)-1=(A-1)T

（5）设A、B为n方阵，若AB=I,

则A与B都可逆,且A-1=B,B-1=A性质4例用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵方法作矩阵矩阵初等行变换Aij是A中去掉aij所在行所在列的元素剩下的元素按照原来的排列顺序组成的n-1阶行列式伴随矩阵设问：当a、b、c、d满足什么条件时，矩阵A可逆？当矩阵A可逆时，求A-1答案例题例设对角矩阵A=diag[abcd]，判别A是否可逆？当A可逆时，求A-1答案若A-1=AT,则称A为正交矩阵如若A为正交矩阵，则

AAT=ATA=I

AA-1=A-1A=I

|A|=1或-1正交矩阵线性方程组高斯消元法基础解系解法设AX=0(秩(A)=r)的基础解系为X1,X2,···Xn-r,

AX=B的特解为X0,则AX=B的全部解为

X=X0+k1X1+k2X2+···+kn-rXn-r线性方程组则矩阵方程高斯消元法高斯消元法其中CHIr解：?×(-1)+?

?×(-2)+??×(-1)+??×(-1)+?x3为自由未知量例1解非齐次线性方程组因x3为自由未知量，所以x3可取k用基础解系表示解解?×(-3)+?

?×(-1)+?

?×(-2)+??×(-1)+??×(-1)+?(?,?)?×(-1)+?例2解齐次线性方程组?×(1/2)?×(-2)+?k1、k2为任意常数（1）对增广矩阵[A|B](而不是系数矩阵A）进行初等行变换后的矩阵不能与前面的矩阵写等号“=”，而只能写箭头“?”；（2）最后的矩阵一定要化成阶梯矩阵或行简化阶梯矩阵；（3）不要认为方程个数小于（大于）未知量个数的线性方程组一定有解（无解）用消元法解线性方程组应注意的问题：n维向量:?=(a1,a2,…,an)T线性组合：线性相关n维向量线性相关线性无关等价定义（2）向量组（1）含有零向量的向量组必线性相关。组线性无关则向量若齐次线性方程组线性相关若齐次线性方程组有非零解，则向量组只有零解，结论（3）向量组（4）若n维向量的向量组中向量的个数超过n，则该向量组一定线性相关。设矩阵若则向量组线性无关若则向量组线性相关列向量（4）若n维向量的向量组中向量的个数超过n，则该向量组一定线性相关。（5）若向量组的一个部分组线性相关则整个向量组线性相关（6）向量组线性无关则向量组的一个部分组线性无关线性相关不全为0（1）线性无关单位向量例判断向量组的相关性证明：设即所以，向量组e1,e2,e3,e4线性无关易证明任意一个四维向量均可由向量组e1,e2,e3,e4线性表出同样n维单位向量组e1,e2,e3,···,en线性无关易证明任意一个n维向量均可由向量组e1,e2,e3,···,en线性表出(2)解：作矩阵每一个向量作成一列?+?可化为单位矩阵因为r=3=s,所以线性无关极大无关组：若向量组S中的部分向量组S0满足:S0线性无关；S中的每一个向量都是S0中向量的线性组合。则称部分向量组为向量组的极大无关组.性质：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量的个数都相同。向量组中每一个向量由极大无关组向量线性表出的表达式是唯一的。向量组的秩：对于向量组S，其极大无关组所含向量个数称为向量组S的秩。用矩阵求向量组秩的方法：把向量作为矩阵的列构成一个矩阵，用初等变换将其化为阶梯阵，则非零行的数目即为向量组的秩，主元所在列对应的原来向量组即为极大无关组。极大无关组与向