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《再探三角形全等的条件》教案

教学目标

教学目标：

梳理全等三角形判定方法的探究过程，能提出关于“SSA能否成为全等判定方法”的问题，并分类进行证明或证伪.

经历提出问题、证明猜想、构造反例的过程，体会数学结论的生成过程，培养学生提出问题、解决问题的能力.

教学重点：分类讨论两边一对角（SSA）分别相等的两个三角形是否全等.

教学难点：构造反例、归纳结论.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

2min

引入

通过前面的学习，我们一起，经历了一次数学家探索三角形全等条件的过程——首先，由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等.

但同时满足6个条件，似乎过于苛刻和繁琐.

于是提出探究的方向：

如果能用较少的条件，就能简洁地判断两个三角形全等，那会是几组条件呢？

通过实验，我们得到三组条件就能保证两个三角形全等.

那么，从边、角出发，满足三组条件的所有情况，我们是否在之前的学习中都讨论完全了呢？

并没有

下面，我们就一起再探三角形全等的条件，或许会有新的发现！

6min

新课

提出问题

问题1：从边、角出发的三组条件，应该有几种不同的组合？

由单一条件构成：SSS或AAA

由边、角的复合条件构成：

=1\*GB3①两角一边AAS或ASA

=2\*GB3②两边一角SAS或SSA

理论上，共有6种不同的组合.

问题2：其中哪种组合是最容易被同学否定的呢？

AAA是最容易被否定的.

例如，任作两个等腰直角三角形，满足三组角均相等.形状能被确定，但由于缺少边的条件，大小不定，故不能保证二者全等.

这样，剩下的组合中，无论成立与否，我们发现，要想成为全等三角形的判定，都至少要有一组边的条件.

和我们已经探究得到的5种判定方法相比，对于任意三角形，有4种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；对直角三角形，还多了一种特殊的HL.

HL表面上只需要斜边、直角边两组条件，但由于多了直角的前提，实则也是3个条件，可以并入“两边一对角分别相等”的情况.

提出问题

分析到这里，我们会有这样的疑问：

SSA能否在非直角三角形判定全等时也成立呢？

进行探究

要想解决这个问题，按照我们对于几何学习的经验，首先要提出猜想：两组边及一边的对角分别相等的两个三角形全等.

下面，我们对这个猜想进行证明或证伪.

前面的学习中，我们积累了这样的经验：三角形的全等条件就是确定三角形的形状和大小的条件，根据这一思路，两边一对角分别相等的两个三角形是否全等的问题，可以转化为两边一对角是否能确定三角形的形状和大小的问题.

从这个角度出发，可进行讨论如下：

我们要先将问题进行数学化地叙述，以便研究.

已知：在三角形中，两边为a，b，边a的对角为α

我们已经探究过直角三角形的情况，现在，可以从它出发展开研究.

当α=90°时

先作射线AP、AQ使其夹角为90°（如图1-1）

再任作线段a，b（ab）图1-

图1-2

图1-1图

图1-1

图1-3

图1-4

在射线AP上截取AB=b（如图1-3），以B为圆心，a为半径作弧，交射线AQ于点C，即BC=a（如图1-4），可确定三角形的形状和大小.

同学们一定有这样的经验：α作为三角形中最大的角，所对的边，也一定是最长边.所以，我们只需让a边与α角相对即可.

下面，我们可以接着从角α出发，分类讨论其为钝角、锐角的情况。同学们可以先试着设计一下作图流程，并尝试自己作图.

当α90°时

先构造射线AP、AQ使其夹角为钝角，仍用α表示，

同（1），任作线段a，b（ab）

也可唯一确定三角形的形状和大小（如图2-1）；

图2

图2-1

当α90°时

图3-

图3-1

图3-2

沿用上面的作图经验，我们容易得到图3-1，且也是唯一的.

到目前为止，我们的猜想“似乎”都是成立的.

我们可以将图1-4、2-1、3-1的情况加以综合，发现下面的结论：

两边分别相等且两边中大边的对角也分别相等的两个三角形全等（简记为“SSA(1)”）

我们已经探究的HL，就属于这种判定SSA(1)的特殊情况.

注意，这里是假设ab的情况。

如果a不变，b变长，当a=b时，如图3-2所示，以B为圆心，a为半径作弧，与射线AQ存在两个交点，其中一个交点与点A重合，不能构成三角形，另一个交点为C，得到三角形的形状，也是确定的.

当ab时

我们发现，三角形由不能唯一确定（图3-3）到唯一确定（图3-4），最后，由于b变得太大，以B为圆心a为半径作弧时，无法与射线AQ相交，三角形不存在了（图3-5）.

图3-3

图3-3

图3-4

图3-5

至此，回顾一下，我们的讨论是否完全？

我们以“两边一对角”中