高考新课标数学 第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.ppt

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究

函数的单调性，会求函数的单调区间．

2.[文]了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条

件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式

函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最

小值(其中多项式函数不超过三次)．

[理]了解函数在某点取得极值的必要条件和充分

条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求

闭区间上函数的最大值、最小值．

3．会利用导数解决某些实际问题．

[理要点]

一、函数的单调性与导数

1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负

有如下关系：

(1)假f′(设x)0，那么f(x)在这个区间内单调递增；

(2)假f′(设x)0，那么f(x)在这个区间内单调递减；

＝

(3)假f′(x设)0，那么f(x)在这个区间内是常数．

2．利用导数判断函数单调性的一般步骤．

(1)求f′(x)；

f′(x)0或f′(x)0

(2)在定义域内解不等式；

(3)根据结果确定f(x)的单调区间．

二、函数的极值与导数

1．函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函

数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧

f′(x)＜0＞

，右侧f′(x)0，那么点a叫做函数y＝f(x)的极

小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

2．函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他

点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左

f′(x)＞0＜

侧，右侧f′(x)0，那么点b叫做函数y＝f(x)

的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为

极值．

三、函数的最值

1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断

的曲线，那么它必有最大值和最小值．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

极值

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的．

端点处的函数值、

(2)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)f(b)比

较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[究疑点]

1．假设函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0吗？

f′(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？

提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么f′(x)≥0，

f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．

2．导数为0的点一定是极值点吗？

提示：不一定．如f(x)＝x3，f′(0)＝0.但f′(x)＝3x2≥0，

那么f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，故x＝0不

是f(x)＝x3的极值点．

3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？

提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一

函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值

小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的

比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)

值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)

值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那

么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

[题组自测]

答案：B

3．a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对

数的底数)．

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