数学学案：预习导航函数与方程.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

预习导航

课程目标

学习脉络

1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点．

2．掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法．

3．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解.

1．函数的零点

(1)定义：

一般地,如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α）＝0,则α叫做这个函数的零点．

（2）性质:

①当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．

②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．

思考1如何正确认识零点？

提示：函数y＝f（x）的零点是个实数，在函数图象上应该是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标，虽称为“点”，但不是一个点．

2．二次函数的零点与对应二次方程的实根个数之间的关系

思考2二次函数没有零点的等价说法是什么？

提示:二次函数f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0),当Δ＝b2－4ac＜0时，函数y＝f（x）没有零点，则函数y＝f(x)的图象与x轴没有交点．

思考3二次函数的零点最多只有两个吗？所有的二次函数都有零点吗?

提示:二次函数的零点最多只有两个，因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根．并不是所有的二次函数都有零点，这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y＝x2＋2x＋2就没有零点．

3．零点存在的判断方法及分类

（1)零点存在的判断方法:

如果函数y＝f（x)在一个区间［a，b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号，即f（a)·f（b）＜0,则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b），使f(x0）＝0。

（2）分类:

思考4对于函数f（x），若满足f（a)·f（b）＜0，则f(x）在区间（a，b)内一定有零点吗?若f（x)在区间(a,b）内有零点，则f（a)·f（b)＜0一定成立吗？

提示:对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间（a，b）内不一定有零点,如图(1）所示；若函数f（x）在区间（a,b）内有零点，则不一定有f(a）·f（b)＜0，如图(2）所示．

4．求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法

(1）二分法的定义：

对于在区间［a，b]上连续不断且f(a）·f(b)＜0的函数y＝f(x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2）“二分法”求函数零点的一般步骤：

已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤：

①在D内取一个闭区间［a0，b0]?D，使f(a0）与f（b0）异号，即f（a0)·f（b0）＜0，零点位于区间[a0，b0］中．

②取区间［a0,b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝（a0＋b0)．

计算f(x0）和f（a0）,并判断：

如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；

如果f（a0）·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0］中，令a1＝a0,b1＝x0;

如果f(a0）·f(x0）＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.

③取区间[a1，b1］的中点,则此中点对应的坐标为x1＝(a1＋b1）．

计算f(x1)和f（a1），并判断：

如果f(x1)＝0，则x1就是f(x）的零点，计算终止;

如果f（a1)·f（x1)＜0，则零点位于区间［a1,x1］上，令a2＝a1,b2＝x1;

如果f(a1)·f(x1）＞0，则零点位于区间［x1，b1]上,令a2＝x1，b2＝b1；

……

继续实施上述步骤，直到区间［an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn］上，当区间的长度bn－an不大于给定的精确度时，这个区间［an，bn]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x）的近似零点，计算终止．

思考5用二分法能求函数f（x）＝（x－3）2的零点的近似值吗?

提示：不能．二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法．函数f（x)＝(x－3)2虽是连续的，但在它的定义域上的任何一个闭区间［a，b]内，都不满足f（a)·f(b）＜0，所以无法判定零点的大致区间，即不能用二分法求其零点近似值．