江西省景德镇市2025届高三第一次质量检测（全科）数学试题含答案.docx

景德镇市2025届高三第一次质检试题

数学

命题景德镇一中江宁景德镇二中马小宇景德镇十六中余倩

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（）象限

A.一 B.二 C.三 D.四

3.已知，，则的值为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

4.已知，则（）

A. B. C. D.

5.过点且与曲线相切的直线方程是（）

A. B. C. D.

6.函数的零点个数是（）

A.5 B.6 C.7 D.8

7.函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（）

A. B. C. D.

8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（）

A. B. C. D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.函数为偶函数，且最小正周期为4

B.若，，则往方向上的投影长为

C.是抛物线上一点，，则的最小值为1

D.已知两直线与，则“”是“，互相平行”的充分不必要条件

10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（）

参考数据：若，则，

，

A.

B.总体是35万人

C.样本均值为73.5

D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人

11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（）

A.的值随着的增大而减小 B.是定值

C. D.若，则

第II卷（非选择题）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________.

13.已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________.

14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数.

（1）求函数的单调递减区间和对称中心；

（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求.

16.（15分）如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

17.（15分）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率.

（1）求的方程；

（2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值.

18.（17分）已知函数，其中.

（1）已知，若在定义域内单调递增，求的最小值；

（2）求证：存在常数使得，并求出的值；

（3）在（2）的条件下，若方程存在三个根，，，且，求的取值范围.

19.（17分）第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数.

（1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值；

（2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值；

（3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值.

景德镇市2025届高三第一次质检试题